Title: Congruences modulo arbitrary powers of $5$ and $7$ for Andrews and Paule's partition diamonds with $(n+1)$ copies of $n$ Show Chinese title

Title: 关于安德鲁斯和鲍尔分区钻石的同余式模任意幂次的 $5$ 和 $7$ ，其中包含 $(n+1)$ 份 $n$

Abstract: Recently, Andrews and Paule introduced a partition function $PDN1(N)$ which denotes the number of partition diamonds with $(n+1)$ copies of $n$ where summing the parts at the links gives $N$. They also presented the generating function for $PDN1(n)$ and proved several congruences modulo 5,7,25,49 for $PDN1(n)$. At the end of their paper, Andrews and Paule asked for determining infinite families of congruences similar to Ramanujan's classical $ p(5^kn +d_k) \equiv 0 \pmod {5^k}$, where $24d_k\equiv 1 \pmod {5^k}$ and $k\geq 1$. In this paper, we give an answer of Andrews and Paule's open problem by proving three congruences modulo arbitrary powers of $5$ for $PDN1(n)$. In addition, we prove two congruences modulo arbitrary powers of $7$ for $PDN1(n)$, which are analogous to Watson's congruences for $p(n)$. Show Chinese abstract

Abstract: 近日，Andrews 和 Paule 引入了一个分区函数 $PDN1(N)$，它表示具有 $(n+1)$ 个 $n$ 的分区钻石的数量，其中在链接处求和的部分总和为 $N$。 他们还给出了 $PDN1(n)$ 的生成函数，并证明了若干关于 $PDN1(n)$ 对模 5、7、25、49 的同余关系。 在他们的论文结尾，Andrews 和 Paule 提出了确定类似于 Ramanujan 的经典同余式$ p(5^kn +d_k) \equiv 0 \pmod {5^k}$的无穷族同余式的问题，其中$24d_k\equiv 1 \pmod {5^k}$和$k\geq 1$。 在本文中，我们通过证明三个关于$PDN1(n)$对任意次幂$5$的同余式，回答了 Andrews 和 Paule 的开放性问题。 此外，我们证明了两个关于任意次幂 $7$ 的同余式，分别涉及 $PDN1(n)$ 和 $p(n)$，它们与 Watson 的同余式类似。