Title: Global Well-posedness for the periodic fractional cubic NLS in 1D Show Chinese title

Title: 一维周期分数三次NLS的全局适定性

Abstract: We consider the defocusing periodic fractional nonlinear Schr\"odinger equation $$ i \partial_t u +\left(-\Delta\right)^{\alpha}u=-\lvert u \rvert ^2 u, $$ where $\frac{1}{2}< \alpha < 1$ and the operator $(-\Delta)^\alpha$ is the fractional Laplacian with symbol $\lvert k \rvert ^{2\alpha}$. We establish global well-posedness in $H^s(\mathbb{T})$ for $s\geq \frac{1-\alpha}{2}$ and we conjecture this threshold to be sharp as it corresponds to the pseudo-Galilean symmetry exponent. Our proof uses the $I$-method to control the $H^s(\mathbb{T})$-norm of solutions with infinite energy initial data. A key component of our approach is a set of improved long-time bilinear Strichartz estimates on the rescaled torus, which allow us to exploit the subcritical nature of the equation. Show Chinese abstract

Abstract: 我们考虑聚焦周期性分数非线性薛定谔方程 $$ i \partial_t u +\left(-\Delta\right)^{\alpha}u=-\lvert u \rvert ^2 u, $$ 其中 $\frac{1}{2}< \alpha < 1$ 和算子 $(-\Delta)^\alpha$ 是具有符号 $\lvert k \rvert ^{2\alpha}$ 的分数拉普拉斯算子。 我们在 $H^s(\mathbb{T})$ 中建立了全局适定性，对于 $s\geq \frac{1-\alpha}{2}$ 并且我们猜想这个阈值是精确的，因为它对应于伪伽利略对称性指数。 我们的证明使用$I$方法来控制具有无限能量初始数据的解的$H^s(\mathbb{T})$-范数。我们方法的一个关键组成部分是在缩放环面上的一组改进的长时间双线性 Strichartz 估计，这使我们能够利用方程的次临界性质。