Title: The Second Moment of $\mathrm{GL}_3 \times \mathrm{GL}_2$ $L$-functions at Special Points Show Chinese title

Title: $\mathrm{GL}_3 \times \mathrm{GL}_2$ $L$ 函数在特殊点的二阶矩

Abstract: Let $\phi$ be a fixed Hecke--Maass form for $\mathrm{SL}_3 (\mathbb{Z})$ and $u_j $ traverse an orthonormal basis of Hecke--Maass forms for $\mathrm{SL}_2 (\mathbb{Z}) $. Let $1/4+t_j^2$ be the Laplace eigenvalue of $u_j $. In this paper, we prove the mean Lindel\"of hypothesis for the second moment of $ L (1/2+it_j, \phi \times u_j) $ on $ T < t_j \leqslant T + \sqrt{T} $. Previously, this was proven by Young on $ t_j \leqslant T$. Our approach is more direct as we do not apply the Poisson summation formula to detect the `Eisenstein--Kloosterman' cancellation. Show Chinese abstract

Abstract: 设$\phi$为$\mathrm{SL}_3 (\mathbb{Z})$的固定 Hecke--Maass 型函数，并且$u_j $遍历$\mathrm{SL}_2 (\mathbb{Z}) $的 Hecke--Maass 型函数的正交规范基。设$1/4+t_j^2$为$u_j $的 Laplace 特征值。 在本文中，我们证明了关于$ L (1/2+it_j, \phi \times u_j) $在$ T < t_j \leqslant T + \sqrt{T} $上的二阶矩的平均 Lindelöf 假设。 此前，这是由 Young 在$ t_j \leqslant T$上证明的。 我们的方法更为直接，因为我们没有应用 Poisson 求和公式来检测 `Eisenstein--Kloosterman' 取消效应。