标题： 标准模型规范群的拓扑响应 显示英文标题

标题： Topological Responses of the Standard Model Gauge Group

摘要： 标准模型（SM）的局部李代数是$su(3)\times su(2) \times u(1)$，但其全局规范群，$G_{{\rm SM}_{\rm q}}=$SU(3)$\times$SU(2)$\times$U(1)/$\mathbb{Z}_{\rm q}$, q$=1,2,3,6$仍然未被确定。 在之前关于4d异常和5dcobordism不变量工作的基础上，我们对4d、3d、2d和1d中的低维可逆场理论（iFTs）或对称性保护拓扑态（SPTs）进行分类。 虽然整数SPT难以检测，但分数SPT会产生可测量的拓扑响应。 特别是，[arXiv:2411.18160] 中由$k\in\mathbb{Z}_{6/{\rm q}}$标记的对称性分数化引入了对称性增强的 SM 变体，表示为 SM$_{({\rm q},k)}$。 我们进一步引入了一种新的整数$n$类似于重子减去轻子的$({\bf B}-{\bf L})$-型 U(1) 对称性，$X_n \equiv n (\mathbf{B}-\mathbf{L}) + (1-\frac{n}{N_c})\tilde{Y}$具有弱电超荷$\tilde{Y}$，$n\ge1$，$N_c=3$，其中电荷$q_{X_n} = q_{\tilde{Y}} \mod n$。 分析具有0-形式和1-形式对称性的对称性丰富SM，$(G_{[0]}, G_{[1]})$，对称性扭曲群同态$\rho$，以及对称性分数化障碍$[\beta]$，它们的时空-内部规范丛约束，以及它们的混合反常，我们推导出分数拓扑响应$\sigma_n({\rm q},k)=\frac{{\rm q}(1-n)\gcd(2,n)}{2n}+\frac{k{\rm q}}{6}\mod1.$。我们的$\sigma_n$响应需要对于奇数$n$更一般的自旋$^c$流形，以及对于偶数$n$的自旋流形。 对于给定的$n$（具有$n\ge 7$和$n\ne 10,12,15,30$），$\sigma_n$唯一地确定了规范群参数 q 和分数化标签$k$。 此外，使用诸如 $(n_1,n_2)=(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)$等对 唯一地区分 SM$_{({\rm q},k)}$。 我们的结果通过可测量的拓扑响应阐明了 SM 规范群的全局结构。 显示英文摘要

摘要： The local Lie algebra of the Standard Model (SM) is $su(3)\times su(2) \times u(1)$, yet its global gauge group, $G_{{\rm SM}_{\rm q}}=$SU(3)$\times$SU(2)$\times$U(1)/$\mathbb{Z}_{\rm q}$, q$=1,2,3,6$ remains undetermined. Building on previous work on 4d anomalies and 5d cobordism invariants, we classify lower-dimensional invertible field theories (iFTs) or symmetry-protected topological states (SPTs) in 4d, 3d, 2d, and 1d. While the integer SPTs are hard to detect, the fractional SPTs produce measurable topological responses. In particular, the symmetry fractionalization labeled by $k\in\mathbb{Z}_{6/{\rm q}}$ in [arXiv:2411.18160] introduces the symmetry-enriched SM variants, denoted as SM$_{({\rm q},k)}$. We further introduce a new integer $n$ series of baryon-minus-lepton $({\bf B}-{\bf L})$-like U(1) symmetries, $X_n \equiv n (\mathbf{B}-\mathbf{L}) + (1-\frac{n}{N_c})\tilde{Y}$ with electroweak hypercharge $\tilde{Y}$, $n\ge1$, $N_c=3$, where the charge $q_{X_n} = q_{\tilde{Y}} \mod n$. Analyzing the symmetry-enriched SM with 0-form and 1-form symmetries $(G_{[0]}, G_{[1]})$, symmetry-twist group homomorphism $\rho$, and symmetry frationalization obstruction $[\beta]$, their spacetime-internal gauge bundle constraints, and their mixed anomalies, we derive the fractional topological response $\sigma_n({\rm q},k)=\frac{{\rm q}(1-n)\gcd(2,n)}{2n}+\frac{k{\rm q}}{6}\mod1.$ Our $\sigma_n$ response requires more general Spin$^c$ manifolds for odd $n$ and Spin manifolds for even $n$. For a given $n$ (with $n\ge 7$ and $n\ne 10,12,15,30$), $\sigma_n$ uniquely fixes the gauge group parameter q and fractionalization label $k$. Moreover, using pairs such as $(n_1,n_2)=(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)$, etc. uniquely distinguishes SM$_{({\rm q},k)}$. Our results illuminate the global structure of the SM gauge group via measurable topological responses.