标题： 工业应用中的数字孪生：概念、数学建模和使用案例 显示英文标题

标题： Digital Twins in Industrial Applications: Concepts, Mathematical Modeling, and Use Cases

摘要： 数字孪生（DTs）是通过物联网（IoT）传感器和计算模型实时同步的物理系统的虚拟表示。 在工业应用中，DTs能够实现预测性维护、故障诊断和工艺优化。 本文探讨了DTs的数学基础、混合建模技术，包括物理信息神经网络（PINNs），以及它们在工业场景中的实现。 我们介绍了关键应用、计算工具和未来研究方向。 显示英文摘要

摘要： Digital Twins (DTs) are virtual representations of physical systems synchronized in real time through Internet of Things (IoT) sensors and computational models. In industrial applications, DTs enable predictive maintenance, fault diagnosis, and process optimization. This paper explores the mathematical foundations of DTs, hybrid modeling techniques, including Physics Informed Neural Networks (PINNs), and their implementation in industrial scenarios. We present key applications, computational tools, and future research directions.