标题： 广义的Sierpiński和Riesel数的形式$tb^t+α$ 显示英文标题

标题： Generalized Sierpiński and Riesel numbers of the form $tb^t+α$

摘要： 设$b\geq 2$为一个整数。 我们称一个整数$k$为$b$-Sierpiński 数，如果$\gcd(k+1,b-1)=1$且$k\cdot b^n+1$对所有正整数$n$都是合数。 我们同样称 $k$ 为 $b$-Riesel 数，如果 $\gcd(k-1,b-1)=1$ 和 $k\cdot b^n-1$ 对所有正整数 $n$ 都是合数。 一个同时为$b$-Sierpiński 和$b$-Riesel 的整数称为一个$b$-Brier 数。 在本文中，我们证明对于任何整数$\alpha\neq 0$，存在无限多个形如$tb^t+\alpha$的$b$-Sierpiński 数和无限多个$b$-Riesel 数。 我们进一步证明，当$b+1$不是$2$的幂时，这种形式的$b$-Brier 数有无限多个。 显示英文摘要

摘要： Let $b\geq 2$ be an integer. We call an integer $k$ a $b$-Sierpi\'{n}ski number if $\gcd(k+1,b-1)=1$ and $k\cdot b^n+1$ is composite for all positive integers $n$. We similarly call $k$ a $b$-Riesel number if $\gcd(k-1,b-1)=1$ and $k\cdot b^n-1$ is composite for all positive integers $n$. An integer that is simultaneously $b$-Sierpi\'{n}ski and $b$-Riesel is called a $b$-Brier number. In this article, we show that for any integer $\alpha\neq 0$, there are infinitely many $b$-Sierpi\'{n}ski numbers and infinitely many $b$-Riesel numbers of the form $tb^t+\alpha$. We further show that when $b+1$ is not a power of $2$, there are infinitely $b$-Brier number of this form.