标题： 可测解的一个替代函数方程 显示英文标题

标题： Measurable solutions of an alternative functional equation

摘要： 在本文中，我们研究函数方程\[ \varphi \left( \frac{x+y}{2} \right) \left( \psi_1(x) - \psi_2(y) \right) = 0 \hspace{20mm} \left( \mbox{ for all } x \in I_1 \mbox{ and } y \in I_2 \right) \]，其中$ I_1 \,, I_2 $是$ \mathbb{R} $的开区间，$ J = \frac{1}{2} \left( I_1 + I_2 \right) $而且$ \psi_1 : I_1 \rightarrow \mathbb{R} $，$ \psi_2 : I_2 \rightarrow \mathbb{R} $和$ \varphi : J \rightarrow \mathbb{R} $是未知函数。 我们描述了在假设$ \varphi $可测的情况下可能解的结构。 当$ \varphi $是导数时，我们给出了解的完整特征描述。 此外，我们提供了一个由不规则 Darboux 函数组成的解的例子。 这回答了在第59届国际函数方程研讨会上提出的一个开放问题。 显示英文摘要

摘要： In this paper we investigate the functional equation \[ \varphi \left( \frac{x+y}{2} \right) \left( \psi_1(x) - \psi_2(y) \right) = 0 \hspace{20mm} \left( \mbox{ for all } x \in I_1 \mbox{ and } y \in I_2 \right) \] where $ I_1 \,, I_2 $ are open intervals of $ \mathbb{R} $, $ J = \frac{1}{2} \left( I_1 + I_2 \right) $ moreover $ \psi_1 : I_1 \rightarrow \mathbb{R} $, $ \psi_2 : I_2 \rightarrow \mathbb{R} $ and $ \varphi : J \rightarrow \mathbb{R} $ are unknown functions. We describe the structure of the possible solutions assuming that $ \varphi $ is measurable. In the case when $ \varphi $ is a derivative, we give a complete characterization of the solutions. Furthermore, we present an example of a solution consisting of irregular Darboux functions. This provides the answer to an open problem proposed during the 59th International Symposium on Functional Equations.