标题： 球面$5$-设计的存在性与非存在性 显示英文标题

标题： Existence and nonexistence of spherical $5$-designs of minimal type

摘要： 本文研究了最小类型球面$5$-设计的存在性和性质。 我们关注两种情况：紧致球面$5$-设计和对径球面$4$-距离$5$-设计。 我们证明，一个紧致球面$5$-设计是最小类型当且仅当它具有特定的$Q$-多项式一致配置结构。 对于紧致球面$5$设计在$\mathbb{R}^d$中的最小类型，我们证明了导出码的一半形成具有参数$(d-1, \frac{(d-1)(d+1)}{3})$的等角紧框架 (ETF)。这提供了从具有参数$(d, \frac{d(d+1)}{2})$的最大 ETF 构造此类 ETF 的充分条件。 此外，我们证明了如果维度$d$满足某个算术条件，则紧球面$5$-设计的最小类型不可能存在，该条件对无限多个$d$的值成立，包括$d=119$和$527$。 对于对径球面$4$-距离$5$-设计，我们利用度数理论推导出某些特殊类型的对径球面$4$-距离$5$-设计成为最小类型所需的条件。 显示英文摘要

摘要： This paper investigates the existence and properties of spherical $5$-designs of minimal type. We focus on two cases: tight spherical $5$-designs and antipodal spherical $4$-distance $5$-designs. We prove that a tight spherical $5$-design is of minimal type if and only if it possesses a specific $Q$-polynomial coherent configuration structure. For tight spherical $5$-designs in $\mathbb{R}^d$ of minimal type, we demonstrate that half of the derived code forms an equiangular tight frames (ETF) with parameters $(d-1, \frac{(d-1)(d+1)}{3})$. This provides a sufficient condition for constructing such ETFs from maximal ETFs with parameters $(d, \frac{d(d+1)}{2})$. Moreover, we establish that tight spherical $5$-designs of minimal type cannot exist if the dimension $d$ satisfies a certain arithmetic condition, which holds for infinitely many values of $d$, including $d=119$ and $527$. For antipodal spherical $4$-distance $5$-designs, we utilize valency theory to derive necessary conditions for certain special types of antipodal spherical $4$-distance $5$-designs to be of minimal type.