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数学 > 偏微分方程分析

arXiv:2406.02512 (math)
[提交于 2024年6月4日 ]

标题: 非线性薛定谔方程带准周期初始数据的存在性、唯一性和渐近动力学:II. 导数NLS

标题: Existence, Uniqueness and Asymptotic Dynamics of Nonlinear Schrödinger Equations With Quasi-Periodic Initial Data: II. The Derivative NLS

Authors:David Damanik (Rice University), Yong Li (Jilin University), Fei Xu (Jilin University)
摘要: 这是研究具有准周期初始数据的非线性薛定谔方程的两篇论文系列的第二部分。 在本文中,我们关注导数非线性薛定谔方程的准周期初值问题。 在假设初始数据的傅里叶系数满足指数上界的情况下,我们建立了局部解的存在性,该解在空间中保持准周期性,但傅里叶衰减稍弱。 此外,证明了在这一类准周期函数中,解是唯一的。 同时,我们证明了,在弱非线性设置下,对于导数非线性薛定谔方程,在时间尺度上,当非线性的小参数趋于零时,非线性解在上范数和解析Sobolev范数的意义下渐近收敛到线性解。 证明过程通过考虑傅里叶系数相关的无限耦合常微分方程组,并借助费曼图和$\ast^{[\cdot]}$标记复共轭的组合分析方法对皮卡德迭代进行显式分析。
摘要: This is the second part of a two-paper series studying the nonlinear Schr\"odinger equation with quasi-periodic initial data. In this paper, we focus on the quasi-periodic Cauchy problem for the derivative nonlinear Schr\"odinger equation. Under the assumption that the Fourier coefficients of the initial data obey an exponential upper bound, we establish local existence of a solution that retains quasi-periodicity in space with a slightly weaker Fourier decay. Moreover, the solution is shown to be unique within this class of quasi-periodic functions. Also, we prove that, for the derivative nonlinear Schr\"odinger equation in a weakly nonlinear setting, within the time scale, as the small parameter of nonlinearity tends to zero, the nonlinear solution converges asymptotically to the linear solution in the sense of both sup-norm and analytic Sobolev-norm. The proof proceeds via a consideration of an associated infinite system of coupled ordinary differential equations for the Fourier coefficients and an explicit combinatorial analysis for the Picard iteration with the help of Feynman diagrams and the power of $\ast^{[\cdot]}$ labelling the complex conjugate.
评论: 24页。arXiv管理员注:与arXiv:2405.19583存在文本重叠
主题: 偏微分方程分析 (math.AP) ; 数学物理 (math-ph); 经典分析与常微分方程 (math.CA)
引用方式: arXiv:2406.02512 [math.AP]
  (或者 arXiv:2406.02512v1 [math.AP] 对于此版本)
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2406.02512
通过 DataCite 发表的 arXiv DOI

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来自: David Damanik [查看电子邮件]
[v1] 星期二, 2024 年 6 月 4 日 17:34:43 UTC (25 KB)
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