标题： 同调函子，理想幂，以及渐近稳定性 显示英文标题

标题： Coherent functors, powers of ideals, and asymptotic stability

摘要： 设 $R$ 为一个诺特环，$I_1,\ldots,I_r$ 为 $R$ 的理想，$N\subseteq M$ 为有限生成的 $R$-模。 设 $S = \bigoplus_{\underline{n} \in \mathbb{N}^r} S_{\underline{n}}$ 是一个带有 $S_{\underline{0}} = R$的 Noetherian 标准 $\mathbb{N}^r$-分次环， $\mathcal{M} $ 是一个有限生成的 $\mathbb{Z}^r$-分次 $S$-模。 对于$ \underline{n} = (n_1,\dots,n_r) \in \mathbb{N}^r$，设定$G_{\underline{n}} := \mathcal{M}_{\underline{n}}$或$G_{\underline{n}} := M/{\bf I}^{\underline{n}} N$，其中${\bf I}^{\underline{n}} = I_1^{n_1} \cdots I_r^{n_r}$。 假设$F$是有限生成$R$-模范畴上的相干函子。 我们证明了集合 $\rm{Ass}_R \big(F(G_{\underline{n}}) \big)$ 的所有伴随素理想和 $\rm{grade}\big(J, F(G_{\underline{n}})\big)$ 在所有 $\underline{n} \gg 0$ 中稳定，其中 $J$ 是 $R$ 的非零理想。 此外，如果对于所有的 $\underline{n} \gg 0$，长度 $\lambda_R(F(G_{\underline{n}}))$ 是有限的，则存在一个多项式 $P$ 在 $r$ 个变量上定义于 $\mathbb{Q}$ 上，使得对于所有 $\underline{n}\gg 0$，有 $\lambda_R(F(G_{\underline{n}})) = P(\underline{n})$。 当 $R$ 是局部环，且 $G_{\underline{n}} = M/{\bf I}^{\underline{n}} N$时，我们给出了 $P$的总次数的一个尖锐上界。 作为应用，当 $R$ 是局部环时，我们证明对于每个固定的 $i \geq 0$，第 $i$个 Betti 数 $\beta_i^R(F(G_{\underline{n}}))$ 和 Bass 数 $\mu^i_R(F(G_{\underline{n}}))$ 都是 $\underline{n}$ 的多项式，并且对所有 $\underline{n} \gg 0$ 成立。 因此，特别是，射影维数 $\rm{pd}_R(F(G_{\underline{n}}))$（相应地，内射维数 $\rm{id}_R(F(G_{\underline{n}}))$）对于所有的 $\underline{n}\gg 0$是恒定的。 显示英文摘要

摘要： Let $R$ be a Noetherian ring, $I_1,\ldots,I_r$ be ideals of $R$, and $N\subseteq M$ be finitely generated $R$-modules. Let $S = \bigoplus_{\underline{n} \in \mathbb{N}^r} S_{\underline{n}}$ be a Noetherian standard $\mathbb{N}^r$-graded ring with $S_{\underline{0}} = R$, and $\mathcal{M} $ be a finitely generated $\mathbb{Z}^r$-graded $S$-module. For $ \underline{n} = (n_1,\dots,n_r) \in \mathbb{N}^r$, set $G_{\underline{n}} := \mathcal{M}_{\underline{n}}$ or $G_{\underline{n}} := M/{\bf I}^{\underline{n}} N$, where ${\bf I}^{\underline{n}} = I_1^{n_1} \cdots I_r^{n_r}$. Suppose $F$ is a coherent functor on the category of finitely generated $R$-modules. We prove that the set $\rm{Ass}_R \big(F(G_{\underline{n}}) \big)$ of associate primes and $\rm{grade}\big(J, F(G_{\underline{n}})\big)$ stabilize for all $\underline{n} \gg 0$, where $J$ is a non-zero ideal of $R$. Furthermore, if the length $\lambda_R(F(G_{\underline{n}}))$ is finite for all $\underline{n} \gg 0$, then there exists a polynomial $P$ in $r$ variables over $\mathbb{Q}$ such that $\lambda_R(F(G_{\underline{n}})) = P(\underline{n})$ for all $\underline{n}\gg 0$. When $R$ is a local ring, and $G_{\underline{n}} = M/{\bf I}^{\underline{n}} N$, we give a sharp upper bound of the total degree of $P$. As applications, when $R$ is a local ring, we show that for each fixed $i \geq 0$, the $i$th Betti number $\beta_i^R(F(G_{\underline{n}}))$ and Bass number $\mu^i_R(F(G_{\underline{n}}))$ are given by polynomials in $\underline{n}$ for all $\underline{n} \gg 0$. Thus, in particular, the projective dimension $\rm{pd}_R(F(G_{\underline{n}}))$ (resp., injective dimension $\rm{id}_R(F(G_{\underline{n}}))$) is constant for all $\underline{n}\gg 0$.