标题： 代数恒等式证明一个整洁的有限自由代数是迹étale的 显示英文标题

标题： Algebraic identities to prove that a neat finite free algebra is tracically étale

摘要： 本文的核心目标是提供下列定理的基本证明，目前我们尚未发现现有文献中有任何关于该定理的踪迹。 如果 $B$ 是交换环 $A$ 上的净有限自由代数，则它在迹上是可积的（其迹形式是非退化的），在 A 上更是可积的。 如标题所示，我们的证明基于代数恒等式。 这证实了一句隐含的格言：大多数最抽象的交换代数都集中在任意交换环上多项式矩阵的代数恒等式中。 ——————本文的核心目标是提供以下定理的基本证明，但我们尚未在现有文献中发现踪迹。 $B$ 是 $A$ 上的自由变量，也可以是 $A$ 上的 traciquement étale（形式轨迹非 dégénérée），更不用说 $A$ 上的 étale。 Comme indiqué dans le titre, notre démonstration est sur des identités algébriques. Cela 确认了这句隐含的格言，它是代数交换的重要组成部分，并且是与任意可交换的多项式矩阵有关的代数恒等式的抽象集中。 显示英文摘要

摘要： The central objective of this article is to provide an elementary proof of the following theorem, of which we are unaware of any trace in the existing literature. If $B$ is a net finite free algebra over a commutative ring $A$, then it is tracically \'etale (its trace form is nondegenerate) and a fortiori \'etale over A. As indicated in the title, our proof is based on algebraic identities. This confirms the implicit adage that much of the most abstract commutative algebra is concentrated in algebraic identities concerning matrices of polynomials over an arbitrary commutative ring. -- -- -- L'objectif central de cet article est de donner une d\'emonstration \'el\'ementaire du th\'eor\`eme suivant, dont nous ne connaissons pas de trace dans la litt\'erature existante. Si $B$ est une alg\`ebre libre finie nette sur $A$, alors elle est traciquement \'etale (sa forme trace est non d\'eg\'en\'er\'ee) et \`a fortiori \'etale sur $A$. Comme indiqu\'e dans le titre, notre d\'emonstration est bas\'ee sur des identit\'es alg\'ebriques. Cela confirme l'adage implicite selon lequel une grande partie de l'alg\`ebre commutative la plus abstraite se concentre dans des identit\'es alg\'ebriques concernant les matrices de polyn\^omes sur un anneau commutatif arbitraire.