标题： 手性多面体的阶数$2p^m$ 显示英文标题

标题： Chiral polytopes of order $2p^m$

摘要： 设 $\mathcal{P}$是一个类型为 $\{k_1, k_2\}$的手征多面体，且 $G=Aut(\mathcal{P})$。 假设 $|G|=2p^m$，其中 $k_1, k_2\geq 3$ 和 $p$是一个奇素数。 设$P$为$G$的一个 Sylow$p$-子群。 我们证明了$G \cong P \rtimes \mathbb{Z}_2$，$d(P)=2$，$P' \ne 1$（因此$m \geq 3$）以及对偶性，$\{k_1, k_2\}=\{p^{l_1}, 2p^{l_2}\}$对某些整数$l_1, l_2 \geq 1$。 此外，我们证明当且仅当$P$是可换群时，$\mathcal{P}$是紧的$(k_1k_2=2p^m$。 此外，如果 $m=3$ 或 $4$，则 $\mathcal{P}$ 必须是紧的，如果 $m \geq 5$，其中 $m$ 是奇数，或者 $m$ 是偶数且 $m \geq p+3$，则存在一个非紧的手性多面体 $\mathcal{P}$。 显示英文摘要

摘要： Let $\mathcal{P}$ be a chiral polytope with type $\{k_1, k_2\}$ and $G=Aut(\mathcal{P})$. Suppose $|G|=2p^m$, where $k_1, k_2\geq 3$ and $p$ is an odd prime. Let $P$ be a Sylow $p$-subgroup of $G$. We prove that $G \cong P \rtimes \mathbb{Z}_2$, $d(P)=2$, $P' \ne 1$(so $m \geq 3$) and up to duality, $\{k_1, k_2\}=\{p^{l_1}, 2p^{l_2}\}$ for some integral $l_1, l_2 \geq 1$. Moreover, we show that $\mathcal{P}$ is tight $(k_1k_2=2p^m$) if and only if $P$ is metacyclic group. Furthermore, if $m=3$ or $4$, then $\mathcal{P}$ must be tight, and if $m \geq 5$, where either $m$ is odd, or $m$ is even and $m \geq p+3$, there exists a non-tight chiral polytope $\mathcal{P}$.