标题： 关于由$\mathcal I$表征的圆群的逐元素描述 显示英文标题

标题： Element-wise description of the $\mathcal I$-characterized subgroups of the circle

摘要： 按照嘉当定理，给定一个 $\mathbb N$ 的理想 $\mathcal I$，则圆群 $\mathbb T$ 中的序列 $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ 被称为 {\em $\mathcal I$ 收敛} 到点 $x\in \mathbb T$，若对于 $x$ 在 $\mathbb T$ 中的每个邻域 $U$，都有 $\{n\in \mathbb N: x_n \not \in U\}\in \mathcal I$。 对于序列 $\boldsymbol u=(u_n)_{n\in\mathbb N}$ 在 $\mathbb Z$ 中，令 $$t_{\boldsymbol u}^\mathcal I(\mathbb T) :=\{x\in \mathbb T: u_nx \ \text{$\mathcal I$-收敛于}\ 0 \}。$$ 该集合是 $\mathbb T$ 的一个 Borel 子群（因此，可抛光子群），具有许多优良性质，主要研究的是当 $\mathcal I = \mathcal F in$ 是 $\mathbb N$ 所有有限子集的理想时的情况（因此 $\mathcal F in$-收敛与通常收敛一致），因为它与拓扑代数、描述集理论和谐波分析有着密切的联系。 我们给出了当每个$n\in\mathbb N$和在关于$\mathcal I$的合适假设下$u_n\mid u_{n+1}$时，$t_{\boldsymbol u}^\mathcal I(\mathbb T)$的完整元素级描述。在特殊情况下当$\mathcal I =\mathcal F in$时，我们得到了已知结果的一个简化版本的替代证明。 显示英文摘要

摘要： According to Cartan, given an ideal $\mathcal I$ of $\mathbb N$, a sequence $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ in the circle group $\mathbb T$ is said to {\em $\mathcal I$-converge} to a point $x\in \mathbb T$ if $\{n\in \mathbb N: x_n \not \in U\}\in \mathcal I$ for every neighborhood $U$ of $x$ in $\mathbb T$. For a sequence $\mathbf u=(u_n)_{n\in\mathbb N}$ in $\mathbb Z$, let $$t_{\mathbf u}^\mathcal I(\mathbb T) :=\{x\in \mathbb T: u_nx \ \text{$\mathcal I$-converges to}\ 0 \}.$$ This set is a Borel (hence, Polishable) subgroup of $\mathbb T$ with many nice properties, largely studied in the case when $\mathcal I = \mathcal F in$ is the ideal of all finite subsets of $\mathbb N$ (so $\mathcal F in$-convergence coincides with the usual one) for its remarkable connection to topological algebra, descriptive set theory and harmonic analysis. We give a complete element-wise description of $t_{\mathbf u}^\mathcal I(\mathbb T)$ when $u_n\mid u_{n+1}$ for every $n\in\mathbb N$ and under suitable hypotheses on $\mathcal I$. In the special case when $\mathcal I =\mathcal F in$, we obtain an alternative proof of a simplified version of a known result.