标题： 具有稀疏集上随机系数的齐次多项式的Hasse原理 II 显示英文标题

标题： The Hasse principle for homogeneous polynomials with random coefficients over thin sets II

摘要： 设 $d$ 和 $n$ 为自然数。 令 $\nu_{d,n}: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^{N}$ 表示由 $N=N_{n,d}:=\binom{n+d-1}{d}$ 定义的Veronese嵌入，通过按字典序列出 $n$ 个变量中所有次数为 $d$ 的单项式来定义。 设 $\langle \boldsymbol{a}, \nu_{d,n}(\boldsymbol{x})\rangle\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}]$ 是一个关于 $n$ 个变量的齐次多项式，次数为 $d$，系数为整数 $\boldsymbol{a}$，其中 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示内积。 对于一个次数为$k\ (\leq d)$的非奇异型$P\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}]$，在$N$个变量中，考虑一组整数向量$\boldsymbol{a}\in \mathbb{Z}^N$，定义为 $$\mathfrak{A}(A;P)=\{\boldsymbol{a}\in \mathbb{Z}^N:\ P(\boldsymbol{a})=0,\ \|\boldsymbol{a}\|_{\infty}\leq A\}.$$。通过数的几何方法处理一个新的格点问题，我们确认，每当$n> 24d$和$d\geq 17,$成立时，与具有整系数$\boldsymbol{a}\in \mathfrak{A}(A;P)$的方程$f_{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{x})=0$满足Hasse原理的比例，当$A\rightarrow\infty$趋于无穷大时收敛到$1$。 这改进了第二作者最近的工作。 显示英文摘要

摘要： Let $d$ and $n$ be natural numbers. Let $\nu_{d,n}: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^{N}$ denote the Veronese embedding with $N=N_{n,d}:=\binom{n+d-1}{d}$, defined by listing all the monomials of degree $d$ in $n$ variables using the lexicographical ordering. Let $\langle \boldsymbol{a}, \nu_{d,n}(\boldsymbol{x})\rangle\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}]$ be a homogeneous polynomial in $n$ variables of degree $d$ with integer coefficients $\boldsymbol{a}$, where $\langle\cdot,\cdot\rangle$ denotes the inner product. For a non-singular form $P\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}]$ of degree $k\ (\leq d)$ in $N$ variables, consider a set of integer vectors $\boldsymbol{a}\in \mathbb{Z}^N$, defined by $$\mathfrak{A}(A;P)=\{\boldsymbol{a}\in \mathbb{Z}^N:\ P(\boldsymbol{a})=0,\ \|\boldsymbol{a}\|_{\infty}\leq A\}.$$ By handling a new lattice problem via the geometry of numbers, we confirm that whenever $n> 24d$ and $d\geq 17,$ the proportion of integer coefficients $\boldsymbol{a}\in \mathfrak{A}(A;P)$, whose associated equation $f_{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{x})=0$ satisfies the Hasse principle, converges to $1$ as $A\rightarrow\infty$. This improves on the recent work of the second author.