标题： 可交换随机测度 显示英文标题

标题： Swap-invariant and exchangeable random measures

摘要： 在本工作中，我们分析了交换不变性的概念，这是可交换性的一个较弱变体。 在$\mathbb{R}^n$中的随机向量$\xi$被称为交换不变的，如果对于每个$u \in \mathbb{R}^n$，$\,{\mathbf E}\,\big| \!\sum_j u_j \xi_j \big|\,$在$(\xi_1, \ldots, \xi_n)$的所有排列下是不变的。 我们将这一概念扩展到随机测度。 对于测度空间 $(S,\mathcal{S},\mu)$上的交换不变随机测度 $\xi$，向量 $(\xi(A_1), \ldots, \xi(A_n))$对所有不相交的 $A_j \in \mathcal{S}$具有相等的 $\mu$-测度是交换不变的。 建立了交换不变随机测度的各种特征及其与可交换测度的联系。 我们证明了交换不变随机测度的遍历定理，并以遍历极限和可交换随机测度的形式推导出一种表示。 此外，我们证明了在博雷尔空间上的扩散交换不变随机测度是平凡的。 对于随机序列，使用不同的遍历极限得到了两种新的表示。 显示英文摘要

摘要： In this work we analyze the concept of swap-invariance, which is a weaker variant of exchangeability. A random vector $\xi$ in $\mathbb{R}^n$ is called swap-invariant if $\,{\mathbf E}\,\big| \!\sum_j u_j \xi_j \big|\,$ is invariant under all permutations of $(\xi_1, \ldots, \xi_n)$ for each $u \in \mathbb{R}^n$. We extend this notion to random measures. For a swap-invariant random measure $\xi$ on a measure space $(S,\mathcal{S},\mu)$ the vector $(\xi(A_1), \ldots, \xi(A_n))$ is swap-invariant for all disjoint $A_j \in \mathcal{S}$ with equal $\mu$-measure. Various characterizations of swap-invariant random measures and connections to exchangeable ones are established. We prove the ergodic theorem for swap-invariant random measures and derive a representation in terms of the ergodic limit and an exchangeable random measure. Moreover we show that diffuse swap-invariant random measures on a Borel space are trivial. As for random sequences two new representations are obtained using different ergodic limits.