标题： 具有给定方差轮廓的 Gram 随机矩阵的信息论统计量的中心极限定理 显示英文标题

标题： A CLT for Information-theoretic statistics of Gram random matrices with a given variance profile

摘要： 考虑一个$N\times n$随机矩阵$Y_n=(Y_{ij}^{n})$，其中元素由$$ Y_{ij}^{n}=\frac{\sigma_{ij}(n)}{\sqrt{n}} X_{ij}^{n} $$给出，$X_{ij}^{n}$是均值为零、独立同分布且具有单位方差的随机变量，$(\sigma_{ij}(n); 1\le i\le N, 1\le j\le n)$是我们称之为方差轮廓的一个数字数组。 本文研究了随机变量$$ \log\det(Y_n Y_n^* + \rho I_N) $$的涨落情况，其中$Y^*$是$Y$的 Hermite 共轭，$\rho > 0$是一个附加参数。 我们证明了当该随机变量中心化并适当重新标度后，它满足中心极限定理（CLT），并且具有可识别的高斯极限参数。 给出了缩放参数的完整描述；特别是，在$X_{ij}$的 4 阶$^\textrm{th}$矩与高斯随机变量的 4 阶$^{\textrm{th}}$矩不同的情况下，显示此参数中会额外出现一项。 这样的 CLT 在无线通信领域具有重要意义。 显示英文摘要

摘要： Consider a $N\times n$ random matrix $Y_n=(Y_{ij}^{n})$ where the entries are given by $$ Y_{ij}^{n}=\frac{\sigma_{ij}(n)}{\sqrt{n}} X_{ij}^{n} $$ the $X_{ij}^{n}$ being centered, independent and identically distributed random variables with unit variance and $(\sigma_{ij}(n); 1\le i\le N, 1\le j\le n)$ being an array of numbers we shall refer to as a variance profile. We study in this article the fluctuations of the random variable $$ \log\det(Y_n Y_n^* + \rho I_N) $$ where $Y^*$ is the Hermitian adjoint of $Y$ and $\rho > 0$ is an additional parameter. We prove that when centered and properly rescaled, this random variable satisfies a Central Limit Theorem (CLT) and has a Gaussian limit whose parameters are identified. A complete description of the scaling parameter is given; in particular it is shown that an additional term appears in this parameter in the case where the 4$^\textrm{th}$ moment of the $X_{ij}$'s differs from the 4$^{\textrm{th}}$ moment of a Gaussian random variable. Such a CLT is of interest in the field of wireless communications.