标题： 非中心卡方密度的形状 显示英文标题

标题： The Shape of the Noncentral Chi-square Density

摘要： 如果自由度为 nu≥2，则非中心卡方密度是凹对数的。 我们通过证明，对于每个 0<nu<2，存在 lambda_nu>0，使得自由度为 nu 的卡方分布和非中心参数为 lambda 的分布，当 lambda≤lambda_nu 时具有递减密度，否则为双峰。 临界 lambda_nu 是由涉及修正贝塞尔函数比值的方程确定的。 当存在内部众数时，我们推导出其位置的精确界限。 显示英文摘要

摘要： A noncentral chi-square density is log-concave if the degree of freedom is nu>=2. We complement this known result by showing that, for each 0<nu<2, there exists lambda_nu>0 such that the chi-square with nu degrees of freedom and noncentrality parameter lambda has a decreasing density if lambda <= lambda_nu, and is bi-modal otherwise. The critical lambda_nu is characterized by an equation involving a ratio of modified Bessel functions. When an interior mode exists we derive precise bounds on its location.