标题： 非均匀康托尔分布的最优量化 显示英文标题

标题： Optimal quantization for nonuniform Cantor distributions

摘要： 设 $P$ 是 $\mathbb R$ 上的一个Borel概率测度，使得 $P=\frac 1 4 P\circ S_1^{-1} +\frac 3 4 P\circ S_2^{-1}$，其中 $S_1$ 和 $S_2$ 是 $\mathbb R$ 上的两个相似映射，使得 $S_1(x)=\frac 1 4 x $ 和 $S_2(x)=\frac 1 2 x +\frac 12$ 对所有 $x\in \mathbb R$ 成立。 这样的概率测度$P$的支集是由$S_1$和$S_2$生成的康托尔集。 对于这个概率测度，本文中，我们给出了一个递推公式来确定所有$n\geq 2$的$n$-均值的最优集以及第$n$次量化误差。 我们已经证明，相同的归纳公式也适用于由$S_1(x)=\frac 13x$和$S_2(x)=\frac 13 x+\frac 23$生成的 Cantor 集支持的 Cantor 分布$P:=\psi^2 P\circ S_1^{-1} +\psi^4 P\circ S_2^{-1}$，对于所有$x\in \mathbb R$，其中$\psi$是黄金分割比的平方根$\frac 12(\sqrt 5-1)$。 此外，我们给出一个反例以说明归纳公式并不适用于所有 Cantor 分布。 利用归纳公式，我们得到了一些结果和观察，这些结果和观察也在此论文中给出。 显示英文摘要

摘要： Let $P$ be a Borel probability measure on $\mathbb R$ such that $P=\frac 1 4 P\circ S_1^{-1} +\frac 3 4 P\circ S_2^{-1}$, where $S_1$ and $S_2$ are two similarity mappings on $\mathbb R$ such that $S_1(x)=\frac 1 4 x $ and $S_2(x)=\frac 1 2 x +\frac 12$ for all $x\in \mathbb R$. Such a probability measure $P$ has support the Cantor set generated by $S_1$ and $S_2$. For this probability measure, in this paper, we give an induction formula to determine the optimal sets of $n$-means and the $n$th quantization errors for all $n\geq 2$. We have shown that the same induction formula also works for the Cantor distribution $P:=\psi^2 P\circ S_1^{-1} +\psi^4 P\circ S_2^{-1}$ supported by the Cantor set generated by $S_1(x)=\frac 13x$ and $S_2(x)=\frac 13 x+\frac 23$ for all $x\in \mathbb R$, where $\psi$ is the square root of the Golden ratio $\frac 12(\sqrt 5-1)$. In addition, we give a counter example to show that the induction formula does not work for all Cantor distributions. Using the induction formula we obtain some results and observations which are also given in this paper.