标题： 色对称函数的Dyck路径和$q$-棋子理论 显示英文标题

标题： Chromatic symmetric functions of Dyck paths and $q$-rook theory

摘要： Dyck路径的色对称函数（CSF）由Stanley提出，以及其Shareshian-Wachs$q$-类似物与Hessenberg流形、对角调和函数和LLT多项式有重要的联系。 在所谓的阿贝尔Dyck路径的情况下，它们也通过Stanley-Stembridge（1993年）和Guay-Paquet（2013年）的结果与非攻击性车的放置奇特地相关。 对于$q$-类似物，这些结果已被Abreu-Nigro（2020年）和Guay-Paquet（私人通信）通过Garsia-Remmel$q$-击中数推广。 我们的主要成果之一是对Guay-Paquet优雅恒等式的新的证明，该恒等式以$q$-击中系数在CSF基中表达$q$-CSFs。 我们进一步证明它与Abreu-Nigro将$q$-CSF展开为初等对称函数的恒等式等价。 显示英文摘要

摘要： The chromatic symmetric function (CSF) of Dyck paths of Stanley and its Shareshian--Wachs $q$-analogue have important connections to Hessenberg varieties, diagonal harmonics, and LLT polynomials. In the case of, so-called, abelian Dyck paths they are also curiously related to placements of non-attacking rooks by results Stanley--Stembridge (1993) and Guay-Paquet (2013). For the $q$-analogue, these results have been generalized by Abreu--Nigro (2020) and Guay-Paquet (private communication), using the Garsia--Remmel $q$-hit numbers. Among our main results is a new proof of Guay-Paquet's elegant identity expressing the $q$-CSFs in a CSF basis with $q$-hit coefficients. We further show its equivalence to the Abreu--Nigro identity expanding the $q$-CSF in the elementary symmetric functions.