标题： 含素数的有效短区间与七个立方问题 显示英文标题

标题： Short effective intervals containing primes in arithmetic progressions and the seven cubes problem

摘要： 设 $q\ge 3$ 为非例外模数 $q\ge3$，令 $a$ 为与 $q$ 互素的正整数。 对于任意的$\epsilon>0$，存在一个$\alpha>0$（可计算的），使得对于所有的$x\ge \alpha (\log q)^2$，区间$\left[ e^x,e^{x+\epsilon }\right]$包含算术 progression$a \bmod q$中的一个素数$p$。这给出了该算术 progression 中最小素数的界：$P(a,q) \le e^{\alpha (\log q)^2}$。 例如，对于所有 $q\ge 10^{30}$, $P(a,q) \le e^{4.401(\log q)^2}$。 最后，我们将这个结果应用于证明每个大于 $e^{71\,000}$的整数都是七个立方数之和。 显示英文摘要

摘要： Let $q\ge 3$ be a non-exceptional modulus $q\ge3$, and let $a$ be a positive integer coprime with $q$. For any $\epsilon>0$, there exists $\alpha>0$ (computable), such that for all $x\ge \alpha (\log q)^2$, the interval $\left[ e^x,e^{x+\epsilon }\right]$ contains a prime $p$ in the arithmetic progression $a \bmod q$. This gives the bound for the least prime in this arithmetic progression: $P(a,q) \le e^{\alpha (\log q)^2}$. For instance for all $q\ge 10^{30}$, $P(a,q) \le e^{4.401(\log q)^2}$. Finally, we apply this result to establish that every integer larger than $e^{71\,000}$ is a sum of seven cubes.