标题： 巴拿赫代数中的西尔维斯特方程 显示英文标题

标题： The Sylvester equation in Banach algebras

摘要： 设$\mathcal{A}$为一个单位复半单巴拿赫代数， $M_{\mathcal{A}}$表示其极大理想空间。 对于矩阵$M\in {\mathcal{A}}^{n\times n}$，$\widehat{M}$表示通过逐元素Gelfand变换得到的矩阵。 对于矩阵$M\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$， $\sigma(M)\subset \mathbb{C}$表示$M$的特征值集合。 如果$A\in {\mathcal{A}}^{n\times n}$和$B\in {\mathcal{A}}^{m\times m}$满足对于所有$\varphi \in M_{\mathcal{A}}$，$\sigma(\widehat{A}(\varphi))\cap \sigma(\widehat{B}(\varphi))=\emptyset$，那么对于所有$C\in {\mathcal{A}}^{n\times m}$，Sylvester 方程$AX-XB=C$有一个唯一的解$X\in {\mathcal{A}}^{n\times m}$。作为应用，在巴拿赫代数上的矩阵背景下证明了Roth的消去规则。 显示英文摘要

摘要： Let $\mathcal{A}$ be a unital complex semisimple Banach algebra, and $M_{\mathcal{A}}$ denote its maximal ideal space. For a matrix $M\in {\mathcal{A}}^{n\times n}$, $\widehat{M}$ denotes the matrix obtained by taking entry-wise Gelfand transforms. For a matrix $M\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, $\sigma(M)\subset \mathbb{C}$ denotes the set of eigenvalues of $M$. It is shown that if $A\in {\mathcal{A}}^{n\times n}$ and $B\in {\mathcal{A}}^{m\times m}$ are such that for all $\varphi \in M_{\mathcal{A}}$, $\sigma(\widehat{A}(\varphi))\cap \sigma(\widehat{B}(\varphi))=\emptyset$, then for all $C\in {\mathcal{A}}^{n\times m}$, the Sylvester equation $AX-XB=C$ has a unique solution $X\in {\mathcal{A}}^{n\times m}$. As an application, Roth's removal rule is proved in the context of matrices over a Banach algebra.