标题： 周期框架的可实现维度 显示英文标题

标题： Realizable Dimension of Periodic Frameworks

摘要： 贝尔克和康奈利引入了有限图 $\textrm{rd}(G)$ 的可实现维数 $G$，即任意维度中的每个框架 $d$ 都能在一个维度为 $(G,p)$ 的框架中以相同边长实现的最小非负整数 $\mathbb{R}^d$。 他们通过禁用子图刻画了可实现维数最多为 $1$、$2$ 或 $3$ 的有限图。本文中，我们研究周期性框架，并将这一概念推广到 $\mathbb{Z}$-对称图。 我们给出了实现在最多为$1$或$2$的维度下的$\mathbb{Z}$-对称图的禁用 minors 特征，并证明对于给定的商$\mathbb{Z}$-标记图，该特征可以以多项式时间进行验证。 显示英文摘要

摘要： Belk and Connelly introduced the realizable dimension $\textrm{rd}(G)$ of a finite graph $G$, which is the minimum nonnegative integer $d$ such that every framework $(G,p)$ in any dimension admits a framework in $\mathbb{R}^d$ with the same edge lengths. They characterized finite graphs with realizable dimension at most $1$, $2$, or $3$ in terms of forbidden minors. In this paper, we consider periodic frameworks and extend the notion to $\mathbb{Z}$-symmetric graphs. We give a forbidden minor characterization of $\mathbb{Z}$-symmetric graphs with realizable dimension at most $1$ or $2$, and show that the characterization can be checked in polynomial time for given quotient $\mathbb{Z}$-labelled graphs.