标题： $\mathbb Z_3$-对称下上代数 显示英文标题

标题： The $\mathbb Z_3$-Symmetric Down-Up algebra

摘要： 1998年，乔治亚·本卡特和汤姆·罗比引入了下上代数$\mathcal A$。 该代数$\mathcal A$是结合的、非交换的且无限维的。 它由两个生成元$A,B$和两个称为下上关系的关系定义。 在本文中，我们引入了$\mathbb Z_3$对称的下上代数$\mathbb A$。 我们通过生成元和关系来定义$\mathbb A$。 有三个生成元$A,B,C$，其中任意两个都满足下上关系。 我们描述$\mathbb A$如何与文献中的一些熟悉代数相关，例如 Weyl 代数，李代数$\mathfrak{sl}_2$和$\mathfrak{sl}_3$，$\mathfrak{sl}_3$环路代数，Kac-Moody 李代数$A^{(1)}_2$，$q$-Weyl 代数，量子包络代数$U_q(\mathfrak{sl}_2)$，以及量子包络代数$U_q (A^{(1)}_2)$。 我们给出一些开放问题和猜想。 显示英文摘要

摘要： In 1998, Georgia Benkart and Tom Roby introduced the down-up algebra $\mathcal A$. The algebra $\mathcal A$ is associative, noncommutative, and infinite-dimensional. It is defined by two generators $A,B$ and two relations called the down-up relations. In the present paper, we introduce the $\mathbb Z_3$-symmetric down-up algebra $\mathbb A$. We define $\mathbb A$ by generators and relations. There are three generators $A,B,C$ and any two of these satisfy the down-up relations. We describe how $\mathbb A$ is related to some familiar algebras in the literature, such as the Weyl algebra, the Lie algebras $\mathfrak{sl}_2$ and $\mathfrak{sl}_3$, the $\mathfrak{sl}_3$ loop algebra, the Kac-Moody Lie algebra $A^{(1)}_2$, the $q$-Weyl algebra, the quantized enveloping algebra $U_q(\mathfrak{sl}_2)$, and the quantized enveloping algebra $U_q (A^{(1)}_2)$. We give some open problems and conjectures.