标题： 广义积分与点相互作用 显示英文标题

标题： Generalized integrals and point interactions

摘要： 首先我们回顾一种计算斯特姆-刘维尔算子本征函数标量积的方法。 该方法随后被应用于麦克唐纳函数和盖根鲍尔函数，它们是贝塞尔算子和盖根鲍尔算子的本征函数。 计算得到的标量积仅在有限的参数范围内有定义。 为了将所得公式扩展到更广泛的参数范围，我们引入了广义积分的概念。 麦克唐纳函数和盖根鲍尔函数的（标准以及广义）积分在算子理论中有重要应用。 麦克唐纳函数可用于表达欧几里得空间中拉普拉斯算子的预解式（格林函数）的积分核，适用于任何维度。 同样，盖根鲍尔函数出现在球面和双曲空间中拉普拉斯算子的格林函数中。 在维度1、2、3中，可以使用点势扰动这些拉普拉斯算子，从而得到一个定义良好的自伴算子。 麦克唐纳函数和盖根鲍尔函数的标准积分出现在相应格林函数的公式中。 在更高维度中，由点势扰动的拉普拉斯算子不存在。 然而，可以通过使用广义积分将相应的格林函数推广到任意维度。 显示英文摘要

摘要： First we recall a method of computing scalar products of eigenfunctions of a Sturm-Liouville operator. This method is then applied to Macdonald and Gegenbauer functions, which are eigenfunctions of the Bessel, resp. Gegenbauer operators. The computed scalar products are well defined only for a limited range of parameters. To extend the obtained formulas to a much larger range of parameters, we introduce the concept of a generalized integral. The (standard as well as generalized) integrals of Macdonald and Gegenbauer functions have important applications to operator theory. Macdonald functions can be used to express the integral kernels of the resolvent (Green functions) of the Laplacian on the Euclidean space in any dimension. Similarly, Gegenbauer functions appear in Green functions of the Laplacian on the sphere and the hyperbolic space. In dimensions 1,2,3 one can perturb these Laplacians with a point potential, obtaining a well defined self-adjoint operator. Standard integrals of Macdonald and Gegenbauer functions appear in the formulas for the corresponding Green functions. In higher dimensions the Laplacian perturbed by point potentials does not exist. However, the corresponding Green function can be generalized to any dimension by using generalized integrals.