标题： Kolakoski 序列 K(1,3) 中的一种递归块支柱结构 显示英文标题

标题： A Recursive Block Pillar Structure in the Kolakoski Sequence K(1,3)

摘要： 在{1, 3}上的 Kolakoski 序列 K(1,3) 是有结构的，与 K(1,2) 不同，其符号频率 d 大约是 0.397，与三次方程 x^3 - 2x^2 - 1 = 0 的 Pisot 数 α（实根）相关。 我们揭示了一个显式的嵌套递归，通过 B(n+1) = B(n) P(n) B(n) 和 P(n+1) = G(R(P(n)), 3)，定义了块序列 B(n) 和柱序列 P(n)，其中 G 根据向量 R(P(n)) 生成运行。 我们证明了 B(n) 是 K(1,3) 的前缀，并且它们收敛到 K(1,3)，并且 B(n+1) = G(R(B(n)), 1)，直接反映了 Kolakoski 自编码属性。 我们推导了长度 |B(n)|、|P(n)| 和符号计数的递归关系，确认了增长由 α 控制（当 n 趋于无穷时，|B(n+1)|/|B(n)| 的极限等于 α）。 如果块/柱密度收敛，它们必须等于 d。这种构造性框架提供了关于 K(1,3) 规则性的另一种视角，与从替代动力学已知的结果一致。 显示英文摘要

摘要： The Kolakoski sequence K(1,3) over {1, 3} is known to be structured, unlike K(1,2), with symbol frequency d approx. 0.397 linked to the Pisot number alpha (real root of x^3 - 2x^2 - 1 = 0). We reveal an explicit nested recursion defining block sequences B(n) and pillar sequences P(n) via B(n+1) = B(n) P(n) B(n) and P(n+1) = G(R(P(n)), 3), where G generates runs from vector R(P(n)). We prove B(n) are prefixes of K(1,3) converging to it, and B(n+1) = G(R(B(n)), 1), directly reflecting the Kolakoski self-encoding property. We derive recurrences for lengths |B(n)|, |P(n)| and symbol counts, confirming growth governed by alpha (limit |B(n+1)|/|B(n)| = alpha as n -> infinity). If block/pillar densities converge, they must equal d. This constructive framework provides an alternative perspective on K(1,3)'s regularity, consistent with known results from substitution dynamics.