标题： 随机游走关于环面和有界网格的首次返回时间的期望 显示英文标题

标题： Expected First Return Times for Random Walks on Toroidal and Bounded Grids

摘要： 我们考虑在一个$n \times n$网格上的随机游走，其中对立边被识别，形成一个具有$(n-1)^2$个唯一状态的二维环面。 我们证明了，从任意固定状态（例如原点）开始，首次返回的期望时间正好是$(n-1)^2$。 我们的证明自然推广到大小为$n \times m$的矩形网格上，在这种情况下，首次返回的期望时间变为$(n-1)(m-1)$。 更广泛地说，我们将这一论点扩展到了大小为 $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_d$ 的 $d$-维环面网格上，其中预期首次返回时间是 $n_1 n_2 \cdots n_d $。 我们还讨论了在替代边界条件下的问题。 显示英文摘要

摘要： We consider random walks on an $n \times n$ grid with opposite edges identified, forming a two-dimensional torus with $(n-1)^2$ unique states. We prove that, starting from any fixed state (e.g., the origin), the expected first return time is exactly $(n-1)^2$. Our proof generalizes naturally to rectangular grids of size $n \times m$, where the expected first return time becomes $(n-1)(m-1)$. More broadly, we extend the argument to $d$-dimensional toroidal grids of size $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_d$, where the expected first return time is $n_1 n_2 \cdots n_d $. We also discuss the problem under alternative boundary conditions.