标题： 李代数$\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$与超立方体 显示英文标题

标题： The Lie algebra $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$ and the hypercubes

摘要： 我们描述了李代数 $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$ 与超立方图之间的关系。 考虑四个可交换变量的多项式组成的 $\mathbb C$-代数 $P$。 我们将 $P$ 转化为一个 $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-模，在该模上 $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$ 的每个元素都作为导子作用。 然后 $P$ 成为不可约 $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-模的直和，记作 $P = \sum_{N\in \mathbb N} P_N$，其中 $P_N$ 是 $P$ 的第 $N$ 个齐次分量。 对于$N\in \mathbb N$，我们构造一些附加的$\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-模${\rm Fix}(G)$和$T$。 对于这些模，其背后的向量空间描述如下。 设 $X$ 表示超立方体 $H(N,2)$ 的顶点集，并令 $V$ 表示以 $X$ 为基的 $\mathbb C$-向量空间。 对于 $H(N,2)$ 的自同构群 $G$，$G$ 对 $X$ 的作用将 $V$ 变成一个 $G$-模。 向量空间 $V^{\otimes 3} = V \otimes V \otimes V$ 成为一个 $G$-模，使得对于 $g\in G$ 和 $u,v,w \in V$ 有 $g(u \otimes v \otimes w)= g(u) \otimes g(v) \otimes g(w)$。 $V^{\otimes 3}$ 的子空间 ${\rm Fix}(G)$ 由 $V^{\otimes 3}$ 中的向量组成，这些向量由 $G$ 中的每个元素固定。 选取 $\varkappa \in X$。 $H(N,2)$ 对应的子成分代数 $T$ 是由 $H(N,2)$ 的邻接映射 $\sf A$ 和 $H(N,2)$ 的对偶邻接映射 ${\sf A}^*$ 生成的 ${\rm End}(V)$ 的子代数，该子代数是关于 $\varkappa$ 的。 在我们的主要结果中，我们将 ${\rm Fix}(G)$ 和 $T$ 转化为 $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$- 模块，并展示 $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$- 模块同构 $P_N \to {\rm Fix}(G) \to T$。 我们从多个角度描述了$\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$模块$P_N$、${\rm Fix}(G)$和$T$。 显示英文摘要

摘要： We describe a relationship between the Lie algebra $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$ and the hypercube graphs. Consider the $\mathbb C$-algebra $P$ of polynomials in four commuting variables. We turn $P$ into an $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-module on which each element of $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$ acts as a derivation. Then $P$ becomes a direct sum of irreducible $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-modules $P = \sum_{N\in \mathbb N} P_N$, where $P_N$ is the $N$th homogeneous component of $P$. For $N\in \mathbb N$ we construct some additional $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-modules ${\rm Fix}(G)$ and $T$. For these modules the underlying vector space is described as follows. Let $X$ denote the vertex set of the hypercube $H(N,2)$, and let $V$ denote the $\mathbb C$-vector space with basis $X$. For the automorphism group $G$ of $H(N,2)$, the action of $G$ on $X$ turns $V$ into a $G$-module. The vector space $V^{\otimes 3} = V \otimes V \otimes V$ becomes a $G$-module such that $g(u \otimes v \otimes w)= g(u) \otimes g(v) \otimes g(w)$ for $g\in G$ and $u,v,w \in V$. The subspace ${\rm Fix}(G)$ of $V^{\otimes 3}$ consists of the vectors in $V^{\otimes 3}$ that are fixed by every element in $G$. Pick $\varkappa \in X$. The corresponding subconstituent algebra $T$ of $H(N,2)$ is the subalgebra of ${\rm End}(V)$ generated by the adjacency map $\sf A$ of $H(N,2)$ and the dual adjacency map ${\sf A}^*$ of $H(N,2)$ with respect to $\varkappa$. In our main results, we turn ${\rm Fix}(G)$ and $T$ into $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-modules, and display $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-module isomorphisms $P_N \to {\rm Fix}(G) \to T$. We describe the $\mathfrak{sl}_4(\mathbb C)$-modules $P_N$, ${\rm Fix}(G)$, $T$ from multiple points of view.