标题： Bakry-Émery梯度估计在Dyson布朗运动中的相变 显示英文标题

标题： A phase transition in the Bakry-Émery gradient estimate for Dyson Brownian motion

摘要： 本文中，我们在与有限粒子 Dyson 布朗运动 (DBM) 对应的空间中发现了一个间隙，即 Bakry-Émery$N$-Ricci 张量的下界与逆温为$0<\beta<1$的 Bakry-Émery 梯度估计${\rm Ric}_N$和${\sf BE}$之间的差距。 也就是说，我们证明了，对于加权空间$(\mathbb R^n, w_\beta)$（其中$w_\beta=\prod_{i<j}^n |x_i-x_j|^\beta$和任意$N\in[n+\frac{\beta}{2}n(n-1),+\infty]$）， $\beta \ge 1 \implies {\rm Ric}_N \ge 0 \ \& \ {\sf BE}(0,N)$成立； $0 < \beta < 1 \implies {\rm Ric}_N \ge 0$成立而${\sf BE}(0,N)$不成立，这表明在小反温度参数下，Dyson布朗运动关于Bakry-Émery曲率下界的性质发生了相变。 显示英文摘要

摘要： In this paper, we find a gap between the lower bound of the Bakry-\'Emery $N$-Ricci tensor ${\rm Ric}_N$ and the Bakry-\'Emery gradient estimate ${\sf BE}$ in the space associated with the finite-particle Dyson Brownian motion (DBM) with inverse temperature $0<\beta<1$. Namely, we prove that, for the weighted space $(\mathbb R^n, w_\beta)$ with $w_\beta=\prod_{i<j}^n |x_i-x_j|^\beta$ and any $N\in[n+\frac{\beta}{2}n(n-1),+\infty]$, $\beta \ge 1 \implies {\rm Ric}_N \ge 0 \ \& \ {\sf BE}(0,N)$ hold; $0 < \beta < 1 \implies {\rm Ric}_N \ge 0$ holds while ${\sf BE}(0,N)$ does not, which shows a phase transition of the Dyson Brownian motion regarding the Bakry-\'Emery curvature bound in the small inverse temperature regime.