标题： 寻求Sendov猜想的二次细化 显示英文标题

标题： Seeking a quadratic refinement of Sendov's conjecture

摘要： 森多夫的一个猜想指出，如果一个多项式的所有根都在单位圆盘内，并且如果 $\beta$ 是其中的一个根，那么在距离 $\beta$ 不超过 1 的范围内存在多项式导数的一个根。 如果我们定义 $r(\beta)$ 为 $\beta$ 和导数的最近根之间的最大可能距离，那么森多夫的猜想声称 $r(\beta) \le 1$。 本文中，我们猜测存在一个常数 $c>0$ 使得对于所有 $\beta \in [0,1]$，有 $r(\beta) \le 1-c\beta(1-\beta)$。 我们找到了度数为$2$和$3$的复系数多项式、度数为$4$的实系数多项式、所有根位于一条直线上的多项式、所有只有一个不同临界点的多项式以及当$\beta$足够接近$1$时的此类常数。 此外，我们推测了适用于任意次数多项式的$c$的一个特定估计值。 显示英文摘要

摘要： A conjecture of Sendov states that if a polynomial has all its roots in the unit disk and if $\beta$ is one of those roots, then within one unit of $\beta$ lies a root of the polynomial's derivative. If we define $r(\beta)$ to be the greatest possible distance between $\beta$ and the closest root of the derivative, then Sendov's conjecture claims that $r(\beta) \le 1$. In this paper, we conjecture that there is a constant $c>0$ so that $r(\beta) \le 1-c\beta(1-\beta)$ for all $\beta \in [0,1]$. We find such constants for complex polynomials of degree $2$ and $3$, for real polynomials of degree $4$, for all polynomials whose roots lie on a line, for all polynomials with exactly one distinct critical point, and when $\beta$ is sufficiently close to $1$. In addition, we conjecture a specific estimate for a value of $c$ that would apply to polynomials of any degree.