标题： 由径向权函数在 Hardy 空间上诱导的分数阶 Volterra 型算子 显示英文标题

标题： Fractional Volterra-type operator induced by radial weight acting on Hardy space

摘要： 给定复平面单位圆盘$\mathbb{D}$上的径向加倍权$\mu$及其奇次矩$\mu_{2n+1}=\int_0^1 s^{2n+1}\mu(s)\, ds$，我们考虑在$\mathbb{D}$内解析的函数$ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\widehat{f}(n)z^n$的分数阶导数$$ D^\mu(f)(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\widehat{f}(n)}{\mu_{2n+1}}z^n, $$。 我们还考虑分数积分算子$I^\mu(f)(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \mu_{2n+1}\widehat{f}(n)z^n$，以及分数Volterra型算子$$ V_{\mu,g}(f)(z)= I^\mu(f\cdot D^\mu(g))(z),\quad f\in\mathcal{H}(\mathbb{D}), $$，对于任何固定的$g\in\mathcal{H}(\mathbb{D})$。 我们证明当且仅当 $g$ 属于 $\text{BMOA}$ ($\text{VMOA}$) 时， $V_{\mu,g}$ 在 Hardy 空间 $H^p$, $0<p<\infty$上是有界（紧）的。 此外，如果 $\int_0^1 \frac{\left(\int_r^1 \mu(s)\, ds\right)^p}{(1-r)^2}\,dr=+\infty$，我们证明当且仅当 $g=0$时，$V_{\mu,g}$属于 Schatten 类 $S_p(H^2)$。 另一方面，如果 $\frac{\left(\int_r^1 \mu(s)\, ds\right)^p}{(1-r)^2}$ 是一个径向加倍权，则证明 $V_{\mu,g} \in S_p(H^2)$ 当且仅当 $g$ 属于 Besov 空间 $B_p$。 在途中，我们得到了$H^p$、$\text{BMOA}$、$\text{VMOA}$和$B_p$关于分数阶导数$D^\mu$的描述。 显示英文摘要

摘要： Given a radial doubling weight $\mu$ on the unit disc $\mathbb{D}$ of the complex plane and its odd moments $\mu_{2n+1}=\int_0^1 s^{2n+1}\mu(s)\, ds$, we consider the fractional derivative $$ D^\mu(f)(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\widehat{f}(n)}{\mu_{2n+1}}z^n, $$ of a function $ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\widehat{f}(n)z^n$ analytic in $\mathbb{D}$. We also consider the fractional integral operator $I^\mu(f)(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \mu_{2n+1}\widehat{f}(n)z^n$, and the fractional Volterra-type operator $$ V_{\mu,g}(f)(z)= I^\mu(f\cdot D^\mu(g))(z),\quad f\in\mathcal{H}(\mathbb{D}), $$ for any fixed $g\in\mathcal{H}(\mathbb{D})$. We prove that $V_{\mu,g}$ is bounded (compact) on a Hardy space $H^p$, $0<p<\infty$, if and only if $g$ belongs to $\text{BMOA}$ ($\text{VMOA}$). Moreover, if $\int_0^1 \frac{\left(\int_r^1 \mu(s)\, ds\right)^p}{(1-r)^2}\,dr=+\infty$, we prove that $V_{\mu,g}$ belongs to the Schatten class $S_p(H^2)$ if and only if $g=0$. On the other hand, if $\frac{\left(\int_r^1 \mu(s)\, ds\right)^p}{(1-r)^2}$ is a radial doubling weight it is proved that $V_{\mu,g} \in S_p(H^2)$ if and only if $g$ belongs to the Besov space $B_p$. En route, we obtain descriptions of $H^p$, $\text{BMOA}$, $\text{VMOA}$ and $B_p$ in terms of the fractional derivative $D^\mu$.