标题： 正密度集合中的和与积 显示英文标题

标题： Sums and products in sets of positive density

摘要： 我们开发了一种分析方法，利用傅里叶分析和遍历理论的工具来研究涉及整数中和与积的Ramsey型问题。 假设$Q$表示一个具有整数系数的多项式。 我们建立了两个主要结果。 首先，我们证明了如果$Q(1) = 0$，那么任何具有正上对数密度的自然数集合都包含形式为$\{x + Q(y), xy\}$的一对数，其中某些$x, y \in \mathbb{N} \setminus \{1\}$。 其次，我们证明了如果$Q(0) = 0$，那么任何相对于一种新的乘法密度概念的自然数集合，该概念在这些问题的背景下自然出现，都包含$\{x + Q(y), xy\}$，其中某些$x, y \in \mathbb{N}$。 显示英文摘要

摘要： We develop an analytic approach that draws on tools from Fourier analysis and ergodic theory to study Ramsey-type problems involving sums and products in the integers. Suppose $Q$ denotes a polynomial with integer coefficients. We establish two main results. First, we show that if $Q(1) = 0$, then any set of natural numbers with positive upper logarithmic density contains a pair of the form $\{x + Q(y), xy\}$ for some $x, y \in \mathbb{N} \setminus \{1\}$. Second, we prove that if $Q(0) = 0$, then any set of natural numbers with positive density relative to a new multiplicative notion of density, which arises naturally in the context of such problems, contains $\{x + Q(y), xy\}$ for some $x, y \in \mathbb{N}$.