标题： 换位子的阶和有限群中共轭类的乘积 显示英文标题

标题： Orders of commutators and Products of conjugacy classes in finite groups

摘要： 设$G$为一个有限群，设$x\in G$且设$p$为一个素数。 我们证明，换位子$[x,g]$对于每个$g\in G$都是$p$-元素，当且仅当$x$在模$O_p(G),$下是中心的，其中$O_p(G)$表示$G$的最大正规$p$-子群。 这个结果同时推广了Baer-Suzuki定理和Glauberman的$Z_p^*$-定理的一些变体。 此外，我们证明如果 $x\in G$是一个 $p$-元素，并且存在一个整数 $m\ge 1$使得对于所有 $g\in G$，或者 $[x,g]=1$，或者对于每个 $g\in G$， $[x,g] $的阶是 $m$，那么由包含 $x$的 $G$的共轭类生成的子群是可解的。 作为应用，我们确认了Beltrán、Felipe和Melchor的一个猜想，该猜想指出，如果$K$是$G$的一个共轭类，使得乘积$K^{-1}K=1\cup D\cup D^{-1}$对某个$D$的共轭类$G$成立，那么由$K$生成的子群是可解的。 显示英文摘要

摘要： Let $G$ be a finite group, let $x\in G$ and let $p$ be a prime. We prove that the commutator $[x,g]$ is a $p$-element for every $g\in G$ if and only if $x$ is central modulo $O_p(G),$ where $O_p(G)$ denotes the largest normal $p$-subgroup of $G$. This result simultaneously generalizes some variants of both the Baer-Suzuki theorem and Glauberman's $Z_p^*$-theorem. Furthermore, we show that if $x\in G$ is a $p$-element and there exists an integer $m\ge 1$ such that for all $g\in G$, either $[x,g]=1$ or the order of $[x,g] $ is $m$ for every $g\in G$, then the subgroup generated by the conjugacy class of $G$ containing $x$ is solvable. As an application, we confirm a conjecture of Beltr\'an, Felipe and Melchor, which states that if $K$ is a conjugacy class of $G$ such that the product $K^{-1}K=1\cup D\cup D^{-1}$ for some conjugacy class $D$ of $G$, then the subgroup generated by $K$ is solvable.