标题： 高维空间中正单纯形的数量 显示英文标题

标题： The number of regular simplices in higher dimensions

摘要： 我们研究了极值函数$S^k_d(n)$，其定义为由$n$个点在$\mathbb{R}^d$中所形成的正则$(k-1)$-单形的最大数量。 对于任何固定的$d\geq2k\geq6$，我们确定了$S^k_d(n)$在低阶项中的渐近行为，仅相差一个乘法常数。 特别是，当 $k=3$时，我们确定了所有偶数维 $d\geq6$和足够大的 $n$的 $S^3_d(n)$的精确值。 这以更强的形式解决了Erdős的一个猜想。 证明利用了超图Turán理论和线性代数的技术。 显示英文摘要

摘要： We study the extremal function $S^k_d(n)$, defined as the maximum number of regular $(k-1)$-simplices spanned by $n$ points in $\mathbb{R}^d$. For any fixed $d\geq2k\geq6$, we determine the asymptotic behavior of $S^k_d(n)$ up to a multiplicative constant in the lower-order term. In particular, when $k=3$, we determine the exact value of $S^3_d(n)$, for all even dimensions $d\geq6$ and sufficiently large $n$. This resolves a conjecture of Erd\H{o}s in a stronger form. The proof leverages techniques from hypergraph Tur\'an theory and linear algebra.