标题： 魔方与分裂群扩张的最小表示 显示英文标题

标题： The Rubik's Cube and Minimal Representations of Split Group Extensions

摘要： 在本文中，我们研究与$2 \times 2$和$3 \times 3$魔方相关的群$G_2$和$G_3$。 我们将$G_2$和$G_3$用熟悉的群来表示，并展示一个分裂同态$\psi: G_3 \longrightarrow G_2$来证明$G_2$作为子群嵌入到$G_3$中。 此外，我们证明了几条结果，限定了由某些补子群分裂的有限交换群的最小忠实表示的维度。 我们随后利用这些结果来确定在$\mathbb{C}$和$\mathbb{R}$上$G_2$和$G_3$的最小忠实维数。 我们发现$G_2$在$\mathbb{C}$上的最小维数为 8，在$\mathbb{R}$上的最小维数为 16，而$G_3$在$\mathbb{C}$上的最小维数为 20，在$\mathbb{R}$上的最小维数为 28。 显示英文摘要

摘要： In this paper, we examine the groups $G_2$ and $G_3$ associated to the $2 \times 2$ and $3 \times 3$ Rubik's cubes. We express $G_2$ and $G_3$ in terms of familiar groups and exhibit a split homomorphism $\psi: G_3 \longrightarrow G_2$ to prove that $G_2$ embeds inside $G_3$ as a subgroup. In addition, we prove several results bounding the dimensions of minimal faithful representations of finite abelian groups split by some complementary subgroup. We then employ these results to determine the minimal faithful dimensions of $G_2$ and $G_3$ over both $\mathbb{C}$ and $\mathbb{R}$. We find that $G_2$ has minimal dimension 8 over $\mathbb{C}$ and 16 over $\mathbb{R}$, and that $G_3$ has minimal dimension 20 over $\mathbb{C}$ and 28 over $\mathbb{R}$.