标题： 关于集合和测度的指数分离和维数保持逼近的一些备注 显示英文标题

标题： Some remarks on the exponential separation and dimension preserving approximation for sets and measures

摘要： 在集合和测度的维数理论中，由于Hochman引入了指数分离条件，并证明了由实直线上相似性生成的不变集合和测度的Hausdorff维数结果，最近取得了突破性进展。 在这一开创性工作之后，我们通过弱化条件做出了一点贡献。 我们还使用Assouad和Hausdorff维数在所有非空紧集的类中定义了一些集合，并使用$L^q$维数在Borel概率测度中定义了一些测度子集，并证明了它们在各自空间中的稠密性。 显示英文摘要

摘要： In the dimension theory of sets and measures, a recent breakthrough happened due to Hochman, who introduced the exponential separation condition and proved the Hausdorff dimension result for invariant sets and measures generated by similarities on the real line. Following this groundbreaking work, we make a modest contribution by weakening the condition. We also define some sets in the class of all nonempty compact sets using the Assouad and Hausdorff dimensions and subsets of measures in the Borel probability measures using the $L^q$ dimension and prove their density in the respective spaces.