标题： 具有切向边界条件的多面体上 S² 值调和映射的能量 显示英文标题

标题： Energies of S^2-valued harmonic maps on polyhedra with tangent boundary conditions

摘要： 一个在凸多面体 P \subset R^3 上的单位向量场 n:P \to S^2 满足切边界条件，如果在 P 的每个面上，n 的取值都与该面相切。 切向单位向量场在 P 的顶点处必然不连续。我们考虑在其他地方连续的场。 我们为任意同伦类型 h 的此类切向单位向量场的最小 Dirichlet 能量 E^inf_P(h) 推导了一个下界 E^-_P(h)。E^-_P(h) 表示为由 P 引起的 S^2 的自然划分中的每个区域的一个最小连接的加权和。对于矩形棱柱 P，我们推导了 E^inf_P(h) 的一个上界，其与下界的比值可以独立于 h 进行有界。这个问题受到多面体几何中向列液晶模型的启发。 我们的结果改进并扩展了几个先前的结果。 显示英文摘要

摘要： A unit-vector field n:P \to S^2 on a convex polyhedron P \subset R^3 satisfies tangent boundary conditions if, on each face of P, n takes values tangent to that face. Tangent unit-vector fields are necessarily discontinuous at the vertices of P. We consider fields which are continuous elsewhere. We derive a lower bound E^-_P(h) for the infimum Dirichlet energy E^inf_P(h) for such tangent unit-vector fields of arbitrary homotopy type h. E^-_P(h) is expressed as a weighted sum of minimal connections, one for each sector of a natural partition of S^2 induced by P. For P a rectangular prism, we derive an upper bound for E^inf_P(h) whose ratio to the lower bound may be bounded independently of h. The problem is motivated by models of nematic liquid crystals in polyhedral geometries. Our results improve and extend several previous results.