数学 > 组合数学
[提交于 2001年4月10日
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标题: 裂平面上的行走:其他方法
标题: Walks on the slit plane: other approaches
摘要: 设S是Z²的一个有限子集。 在步长属于S的穿孔平面上的行走是指点序列(0,0)=w_0, w_1, ..., w_n,使得对于所有i,w_{i+1}-w_i属于S,并且没有点w_i(i>0)位于半线H= {(k,0): k <= 0}上。 在最近的一篇论文中,G. Schaeffer和作者计算了对于几个集合S的穿孔平面上行走的长度生成函数S(t)。因此得到的所有生成函数都被证明是代数的:例如,在普通的正方形格点上,S(t) =\frac{(1+\sqrt{1+4t})^{1/2}(1+\sqrt{1-4t})^{1/2}}{2(1-4t)^{3/4}}。 这种代数性的组合原因仍然不清楚。 在本文中,我们提出了两种新的方法来求解穿孔平面模型。 其中一种方法简化并扩展了原始论文中的函数方程方法。 另一种方法受到Lawler的一个论点的启发;它更具组合性,并解释了与模型相关的三个级数乘积的代数性。 它也可以被视为经典循环引理的扩展。 这两种方法适用于任何步长集合S。 我们展示了一个大的集合S族,其穿孔平面上行走的生成函数是代数的,另一个集合S族,其生成函数既不是代数的,甚至也不是D-有限的。 这些例子暗示了代数性和超越性之间的边界在哪里,并呼吁对集合S进行全面分类。
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