标题： 一个Dyck路径的双射及其循环结构 显示英文标题

标题： A bijection on Dyck paths and its cycle structure

摘要： 已知的Dyck路径上的双射要么是对合，要么其循环结构难以处理。 这里我们提出了一种保持大小的Dyck路径双射，其循环结构易于完全分析。 特别是，每个循环的长度都是2的幂次。 在过程中，Catalan数作为带标签的森林的新表现形式出现了，同时Pascal矩阵模2也出现了。 我们使用该双射来证明Motzkin数的两种已知表现形式的等价性。 最后，我们考虑了新Catalan表现形式上的一些统计量。 显示英文摘要

摘要： The known bijections on Dyck paths are either involutions or have notoriously intractable cycle structure. Here we present a size-preserving bijection on Dyck paths whose cycle structure is amenable to complete analysis. In particular, each cycle has length a power of 2. A new manifestation of the Catalan numbers as labeled forests crops up enroute as does the Pascal matrix mod 2. We use the bijection to show the equivalence of two known manifestations of the Motzkin numbers. Finally, we consider some statistics on the new Catalan manifestation.