Title: Homotopy type of the unitary group of the uniform Roe algebra on $\mathbb{Z}^n$ Show Chinese title

Title: 单位化Roe代数在$\mathbb{Z}^n$上的酉群的同伦类型

Abstract: We study the homotopy type of the space of the unitary group $\U_1(C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|))$ of the uniform Roe algebra $C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|)$ of $\mathbb{Z}^n$. We show that the stabilizing map $\U_1(C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|))\to\U_\infty(C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|))$ is a homotopy equivalence. Moreover, when $n=1,2$, we determine the homotopy type of $\U_1(C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|))$, which is the product of the unitary group $\U_1(C^\ast(|\mathbb{Z}^n|))$ (having the homotopy type of $\U_\infty(\mathbb{C})$ or $\mathbb{Z}\times B\U_\infty(\mathbb{C})$ depending on the parity of $n$) of the Roe algebra $C^\ast(|\mathbb{Z}^n|)$ and rational Eilenberg--MacLane spaces. Show Chinese abstract

Abstract: 我们研究了酉群 $\U_1(C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|))$ 的空间同伦类型， $C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|)$ 是 $\mathbb{Z}^n$ 的一致Roe代数。 我们证明了稳定化映射 $\U_1(C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|))\to\U_\infty(C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|))$ 是同伦等价。 此外，当$n=1,2$时，我们确定$\U_1(C^\ast_u(|\mathbb{Z}^n|))$的同伦类型，它是由酉群$\U_1(C^\ast(|\mathbb{Z}^n|))$（根据$n$的奇偶性具有与$\U_\infty(\mathbb{C})$或$\mathbb{Z}\times B\U_\infty(\mathbb{C})$相同的同伦类型）与 Roe 代数$C^\ast(|\mathbb{Z}^n|)$的乘积以及有理 Eilenberg--MacLane 空间。