Title: De Branges-Rovnyak spaces and local Dirichlet spaces of higher order Show Chinese title

Title: 德布兰斯-罗夫尼亚克空间和高阶局部狄利克雷空间

Abstract: We discuss de Branges-Rovnyak spaces $\mathcal H(b)$ generated by nonextreme and rational functions $b$ and local Dirichlet spaces of order $m$ introduced in [6]. In [6] the authors characterized nonextreme $b$ for which the operator $Y=S|_{\mathcal H(b)}$, the restriction of the shift operator $S$ on $H^2$ to $\mathcal H(b)$, is a strict $2m$-isometry and proved that such spaces $\mathcal H (b)$ are equal to local Dirichlet spaces of order $m$. Here we give a characterization of local Dirichlet spaces of order $m$ in terms of the $m$-th derivatives that is a generalization of a known result on local Dirichlet spaces. We also find explicit formulas for $b$ in the case when $\mathcal H(b)$ coincides with local Dirichlet space of order $m$ with equality of norms. Finally, we prove a property of wandering vectors of $Y$ analogous to the property of wandering vectors of the restriction of $S$ to harmonically weighted Dirichlet spaces obtained by D. Sarason in [11]. Show Chinese abstract

Abstract: 我们讨论由非极端和有理函数 $b$ 生成的 de Branges-Rovnyak 空间 $\mathcal H(b)$ 以及在 [6] 中引入的阶数为 $m$ 的局部 Dirichlet 空间。 在[6]中，作者表征了非极端的$b$，其中算子$Y=S|_{\mathcal H(b)}$，即移位算子$S$在$H^2$上到$\mathcal H(b)$的限制，是一个严格的$2m$-等距算子，并证明了这样的空间$\mathcal H (b)$等于阶数为$m$的局部狄利克雷空间。 此处我们给出了关于阶数为$m$的局部 Dirichlet 空间的表征，该表征基于第$m$阶导数，这是对已知的局部 Dirichlet 空间结果的推广。 我们还找到了$b$的显式公式，当$\mathcal H(b)$与阶数为$m$的局部 Dirichlet 空间在范数相等的情况下。 最后，我们证明了$Y$的漫游向量的一个性质，该性质类似于 D. Sarason 在 [11] 中获得的限制到调和加权 Dirichlet 空间的$S$的漫游向量的性质。