Title: Gaussian estimates for general parabolic operators in dimension 1 Show Chinese title

Title: 一维中一般抛物型算子的高斯估计

Abstract: We derive in this paper Gaussian estimates for a general parabolic equation u t -- a(x)u x x = r(x)u over R. Here a and r are only assumed to be bounded, measurable and essinf R a > 0. We first consider a canonical equation $\nu$(x)$\partial$ t p -- $\partial$ x $\nu$(x)a(x)$\partial$ x p + W $\partial$ x p = 0, with W $\in$ R, $\nu$ bounded and essinf R $\nu$ > 0, for which we derive Gaussian estimates for the fundamental solution: $\forall$t > 0, x, y $\in$ R, 1 / Ct^{1/2} e^{--C|T (x)--T (y)--W t| 2 /t } $\le$ P (t, x, y) $\le$ C /t^{1/2} e^{--|T (x)--T (y)--W t| 2 /Ct }where T is a corrector satisfying appropriate properties. We then show that any solution u of the original equation could be divided by some generalized principal eigenfunction $\Phi$ $\gamma$ so that p := u/$\Phi$ $\gamma$ satisfies a canonical equation. As a byproduct of our proof, we derive Nash type estimates, that is, Holder continuity in x, for the solutions of the canonical equation. Show Chinese abstract

Abstract: 本文中，我们推导了在 R 上的一般抛物方程 u t -- a(x)u x x = r(x)u 的高斯估计。这里 a 和 r 仅被假定为有界、可测且 essinf R a > 0。 我们首先考虑一个规范方程 $\nu$(x)$\partial$ t p -- $\partial$ x $\nu$(x)a(x)$\partial$ x p + W $\partial$ x p = 0，其中 W $\in$ R， $\nu$ 有界且 essinf R $\nu$ > 0，我们为此导出了基本解的高斯估计： $\forall$t > 0，x，y $\in$ R，1 / Ct^{1/2} e^{--C|T (x)--T (y)--W t| 2 /t} $\le$ P (t，x，y) $\le$ C /t^{1/2} e^{--|T (x)--T (y)--W t| 2 /Ct}其中 T 是满足适当性质的校正项。 我们然后证明，原方程的任何解 u 都可以被某个广义主特征函数$\Phi$ $\gamma$ 除，使得 p := u/$\Phi$ $\gamma$ 满足一个规范方程。 作为我们证明的副产品，我们推导出纳什类型的估计，即对于规范方程的解在 x 上的霍尔德连续性。