Title: A classifying localic category for locally compact locales with application to the Axiom of Infinity (poster) Show Chinese title

Title: 局部拓扑范畴的分类及其在无限公理中的应用（海报）

Abstract: For an internal category $\mathbb{C}$ in a cartesian category $\mathcal{C}$ we define, naturally in objects $X$ of $\mathcal{C}$, $Prin_{\mathbb{C}}(X)$. This is a category whose objects are principal $c \mathbb{C}$-bundles over $X$ and whose morphisms are principal $c(\mathbb{C}^{\uparrow})$-bundles. Here $c(\_)$ denotes taking the core groupoid of a category (same objects but only isomorphisms as morphisms) and $\mathbb{C}^{\uparrow}$ is the arrow category of $\mathbb{C}$ (objects morphisms, morphisms commuting squares). We show that $X \mapsto Prin_{\mathbb{C}}(X)$ is a stack of categories and call stacks of this sort lax-geometric. We then provide two sufficient conditions for a stack to be lax-geometric and use them to prove that the pseudo-functor $X \mapsto \mathbf{LK}_{Sh(X)}$ on the category of locales $\mathbf{Loc}$ is a lax-geometric stack. Here $\mathbf{LK}_{Sh(X)}$ is the category of locally compact locales in the topos of sheaves over $X$, $Sh(X)$. Therefore there exists a localic category $\mathbb{C}_{\mathbf{LK}}$ such that $\mathbf{LK}_{Sh(X)} \simeq Prin_{\mathbb{C}_{\mathbf{LK}}}(X)$ naturally for every locale $X$. We then show how this can be used to give a new localic characterisation of the Axiom of Infinity. Show Chinese abstract

Abstract: 对于一个笛卡尔范畴 $\mathcal{C}$ 中的内部范畴 $\mathbb{C}$，我们自然地在 $\mathcal{C}$ 的对象 $X$ 上定义， $Prin_{\mathbb{C}}(X)$。 这是一个对象为$c \mathbb{C}$-丛在$X$上的范畴，其态射为$c(\mathbb{C}^{\uparrow})$-丛。 这里 $c(\_)$表示取一个范畴的核心群胚（相同对象但只有同构作为态射），而$\mathbb{C}^{\uparrow}$是$\mathbb{C}$的箭头范畴（对象为态射，态射为交换的平方）。 我们证明$X \mapsto Prin_{\mathbb{C}}(X)$是一个范畴的层，并将这种类型的层称为松几何层。 我们随后提供两个充分条件，使得堆栈为松弛几何的，并利用它们证明在局部对象范畴 $\mathbf{Loc}$ 上的伪函子 $X \mapsto \mathbf{LK}_{Sh(X)}$ 是一个松弛几何堆栈。 此处 $\mathbf{LK}_{Sh(X)}$ 是到预层拓扑中的局部紧致局部对象的范畴， $X$, $Sh(X)$。 因此存在一个局部范畴$\mathbb{C}_{\mathbf{LK}}$使得$\mathbf{LK}_{Sh(X)} \simeq Prin_{\mathbb{C}_{\mathbf{LK}}}(X)$对每个局部$X$自然成立。然后我们展示如何利用这一点给出无限公理的新局部特征。