Title: On the existence of parameterized noetherian rings Show Chinese title

Title: 关于参数化诺特环的存在性

Abstract: A ring $R$ is called left strictly $(<\aleph_{\alpha})$-noetherian if $\aleph_{\alpha}$ is the minimum cardinal such that every ideal of $R$ is $(<\aleph_{\alpha})$-generated. In this note, we show that for every singular (resp., regular) cardinal $\aleph_{\alpha}$, there is a valuation domain $D$, which is strictly $(<\aleph_{\alpha})$-noetherian (resp., strictly $(<\aleph_{\alpha}^+)$-noetherian), positively answering a problem proposed in \cite{Marcos25} under some set theory assumption. Show Chinese abstract

Abstract: 一个环 $R$ 被称为左严格 $(<\aleph_{\alpha})$-诺特环，如果 $\aleph_{\alpha}$ 是最小的基数，使得 $R$ 的每个理想都是 $(<\aleph_{\alpha})$-生成的。 在这篇笔记中，我们证明了对于每个奇异（分别地，正则）基数 $\aleph_{\alpha}$，存在一个赋值环 $D$，它是严格 $(<\aleph_{\alpha})$-noetherian 的（分别地，严格 $(<\aleph_{\alpha}^+)$-noetherian 的），在某些集合论假设下，正面回答了 \cite{Marcos25} 中提出的问题。