Title: A Universal Space of Arithmetic Functions:The Banach--Hilbert Hybrid Space U Show Chinese title

Title: 一个算术函数的通用空间：Banach--Hilbert 混合空间 U

Abstract: We introduce a new functional space U designed to contain all classical arithmetic functions (Mobius, von Mangoldt, Euler phi, divisor functions, Dirichlet characters, etc.). The norm of U combines a Hilbert-type component, based on square summability of Dirichlet coefficients for every s > 1, with a Banach component controlling logarithmic averages of partial sums. We prove that U is a complete Banach space which embeds continuously all standard Hilbert spaces of Dirichlet series and allows natural actions of Dirichlet convolution and shift operators. This framework provides a unified analytic setting for classical and modern problems in multiplicative number theory. Show Chinese abstract

Abstract: 我们引入了一个新的函数空间U，旨在包含所有经典的算术函数（莫比乌斯函数、冯·曼戈尔德函数、欧拉φ函数、除数函数、狄利克雷字符等）。 U的范数结合了一个希尔伯特型分量，该分量基于每个s > 1的狄利克雷系数的平方可和性，以及一个巴拿赫分量，用于控制部分和的对数平均。 我们证明了U是一个完整的巴拿赫空间，能够连续嵌入所有标准的狄利克雷级数希尔伯特空间，并允许狄利克雷卷积和位移算子的自然作用。 这个框架为乘法数论中的经典和现代问题提供了一个统一的分析环境。