代数几何

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[1] arXiv:2507.18999 [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 通过节点退化构造性证明霍奇猜想对于K3曲面 显示英文标题

标题： Constructive Proof of the Hodge Conjecture for K3 Surfaces via Nodal Degenerations

Badre Mounda

主题： 代数几何 (math.AG) ; 复变量 (math.CV)

我们给出一个复数$K3$表面的霍奇猜想的构造性证明，该证明不依赖于托雷利型结果。 从任意一个有理$(1,1)$类$\alpha\in H^{1,1}(X,\mathbb{Q})$开始，我们算法性地构建一个单参数四次方程$K3$的族，在最多十个$A_1$节点处获得。 在中心纤维$\widetilde{X}_0$上，类$\alpha$特化为超平面类和来自节点爆破的例外$(-2)$曲线的$\mathbb{Q}$线性组合。 使用 Clemens--Schmid 序列结合 Picard--Lefschetz 理论，我们识别$\Gr^W_2 H^2_{\lim}\cong H^2(\widetilde{X}_0)$并将这个组合回传到原始光滑曲面作为代数除子。 这产生了一个显式的、有限步骤的过程，能够通过代数循环实现任何有理$(1,1)$类。 我们还为 Calabi--Yau 三流形上的$(2,2)$类提出了一个等变扩展，表明同样的策略可能适用于更高维情况。 显示英文摘要

We give a constructive proof of the Hodge conjecture for complex $K3$ surfaces that does not rely on Torelli-type results. Starting with an arbitrary rational $(1,1)$-class $\alpha\in H^{1,1}(X,\mathbb{Q})$, we algorithmically build a one-parameter family of quartic $K3$'s acquiring at most ten $A_1$-nodes. On the central fibre $\widetilde{X}_0$, the class $\alpha$ specializes to a $\mathbb{Q}$-linear combination of the hyperplane class and the exceptional $(-2)$-curves coming from the blow-ups of the nodes. Using the Clemens--Schmid sequence together with Picard--Lefschetz theory, we identify $\Gr^W_2 H^2_{\lim}\cong H^2(\widetilde{X}_0)$ and transport this combination back to the original smooth surface as an algebraic divisor. This yields an explicit, finite-step procedure that realizes any rational $(1,1)$-class by an algebraic cycle. We also formulate an equivariant extension for $(2,2)$-classes on Calabi--Yau threefolds, indicating how the same strategy might apply in higher dimension.

[2] arXiv:2507.19163 [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： Fano 族的次最大初等对称函数 显示英文标题

标题： Fano schemes of sub-maximal elementary symmetric functions

Alexandru Chirvasitu

评论： 8页 + 参考文献

主题： 代数几何 (math.AG) ; 组合数学 (math.CO) ; 环与代数 (math.RA) ; 表示理论 (math.RT)

Denote by $E_r$ the $r^{th}$ elementary symmetric polynomial in $\dim V$ variables for a vector space $V$ over an infinite field $\Bbbk$. 我们描述了在 $F_{d-1}(Z(E_{\dim V-1}))$ 的有理点，这是包含在 $E_{\dim V-1}$ 零点中的射影 $(d-1)$-空间的 Fano 模式。孤立点仅在 $\dim V=2d$ 时存在，在这种情况下，它们与一个 $2d$-元素集合上的 $1\cdot 3\cdots (2d-1)$ 配对一一对应。这特别证实了 Ambartsoumian、Auel 和 Jebelli 的一个猜想，即（在 $\mathbb{R}$ 上）所有孤立点都可以通过适当的符号的积分星变换恢复。 显示英文摘要

Denote by $E_r$ the $r^{th}$ elementary symmetric polynomial in $\dim V$ variables for a vector space $V$ over an infinite field $\Bbbk$. We describe the rational points on the Fano scheme $F_{d-1}(Z(E_{\dim V-1}))$ of projective $(d-1)$-spaces contained in the zero locus of $E_{\dim V-1}$. Isolated points exist precisely for $\dim V=2d$, in which case they are in bijection with the $1\cdot 3\cdots (2d-1)$ pairings on a $2d$-element set. This, in particular, confirming a conjecture of Ambartsoumian, Auel and Jebelli to the effect that (over $\mathbb{R}$) all isolated points are recoverable via integral star transforms with appropriate symbols.

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[3] arXiv:2507.18686 (交叉列表自 math.ST) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 一维离散最大似然程度一的模型 显示英文标题

标题： One-dimensional Discrete Models of Maximum Likelihood Degree One

Carlos Améndola, Viet Duc Nguyen, Janike Oldekop

评论： 24页

主题： 统计理论 (math.ST) ; 代数几何 (math.AG) ; 组合数学 (math.CO) ; 复变量 (math.CV)

我们解决了一个由Bik和Marigliano提出的猜想，该猜想指出具有有理最大似然估计器的一维离散模型的次数在支持集的大小上被一个线性函数所限制，因此表明对于给定的状态数，只有有限多个基本这样的模型。 我们从组合学的角度研究了这些模型的存在性和枚举。 特别是，那些次数达到最大界限的尖锐模型具有特殊性质，并被研究为单位球之间的单项式映射。 通过这种方式，我们提出了柯西-黎曼几何与代数统计之间的一个新联系。 显示英文摘要

We settle a conjecture by Bik and Marigliano stating that the degree of a one-dimensional discrete model with rational maximum likelihood estimator is bounded above by a linear function in the size of its support, therefore showing that there are only finitely many fundamental such models for any given number of states. We study these models from a combinatorial perspective with regard to their existence and enumeration. In particular, sharp models, those whose degree attains the maximal bound, enjoy special properties and have been studied as monomial maps between unit spheres. In this way, we present a novel link between Cauchy-Riemann geometry and algebraic statistics.

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[4] arXiv:2210.00967 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 强上同调不消失性与$n$-Raynaud 曲面上伴随线丛的强非自由性 显示英文标题

标题： Strong non-vanishing of cohomologies and strong non-freeness of adjoint line bundles on $n$-Raynaud surfaces

Yongming Zhang

评论： 13页，所有评论都欢迎！

主题： 代数几何 (math.AG)

我们首先正式定义n-Tango曲线和n-Raynaud曲面。 然后，我们的研究集中于n-Raynaud曲面所表现出的病态行为。 作为这一分析的直接推论，我们提出了一个简洁的反例，以驳斥正特征下曲面的Fujita猜想。 显示英文摘要

We begin by formally defining n-Tango curves and n-Raynaud surfaces. Our investigation then focuses on the pathological behaviors exhibited by n-Raynaud surfaces. As a direct corollary of this analysis, we present a concise disproof of Fujita's conjecture for surfaces in positive characteristics.

[5] arXiv:2307.10461 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 代数双曲性的非常一般齐次流形中的超曲面 显示英文标题

标题： Algebraic hyperbolicity of very general hypersurfaces in homogeneous varieties

Lucas Mioranci

主题： 代数几何 (math.AG)

我们推广了Coskun、Riedl和Yeong的技术，得到了齐次流形中非常一般超曲面代数双曲性的次数的几乎最优界。 作为例子，我们详细计算了乘积格拉斯曼流形、正交和辛格拉斯曼流形以及旗流形中非常一般超曲面的情况。 显示英文摘要

We generalize techniques by Coskun, Riedl, and Yeong, and obtain an almost optimal bound on the degree for the algebraic hyperbolicity of very general hypersurfaces in homogeneous varieties. As examples, we work out the cases of very general hypersurfaces in products of Grassmannians, orthogonal and symplectic Grassmannians, and flag varieties.

[6] arXiv:2310.02413 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 广义谱对应关系 显示英文标题

标题： A generalized spectral correspondence

Kuntal Banerjee, Steven Rayan

评论： 29页；v3：已接受发表于《复拉格朗日量、可积系统和量子化进展》专刊

主题： 代数几何 (math.AG) ; 表示理论 (math.RT)

我们探讨在给定代数曲线上任意秩的层的同构类与另一代数曲线上的扭曲对之间的强范畴对应关系，主要从线性代数的角度出发。 在一个具体应用中，我们将一般的椭圆曲线实现为复射影直线$\mathbb{P}^1$的谱覆盖，然后在$\mathbb{P}^1$上构造循环对和共切丛的例子。 通过引用复合前后推投影公式，我们猜想了一个迭代版本的谱对应关系。 我们通过伽罗瓦理论的论证，证明了关于$\mathbb {P}^1$的一类谱覆盖的该猜想。 该证明依赖于将伽罗瓦群分类为原始类型和非原始类型。 在此背景下，我们重新审视了Ritt的经典定理。 显示英文摘要

We explore a strong categorical correspondence between isomorphism classes of sheaves of arbitrary rank on a given algebraic curve and twisted pairs on another algebraic curve, mostly from a linear-algebraic standpoint. In a particular application, we realize a generic elliptic curve as a spectral cover of the complex projective line $\mathbb{P}^1$ and then construct examples of cyclic pairs and co-Higgs bundles over $\mathbb{P}^1$. By appealing to a composite push-pull projection formula, we conjecture an iterated version of spectral correspondence. We prove this conjecture for a particular class of spectral covers of $\mathbb {P}^1$ through Galois-theoretic arguments. The proof relies upon a classification of Galois groups into primitive and imprimitive types. In this context, we revisit a classical theorem of Ritt.

[7] arXiv:2312.04677 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 加权齐次多项式的高阶雅可比矩阵和导子代数 显示英文标题

标题： Higher Jacobian matrix of weighted homogeneous polynomials and derivation algebras

Wágner Badilla-Céspedes, Abel Castorena, Daniel Duarte

评论： 欢迎提出评论

主题： 代数几何 (math.AG) ; 交换代数 (math.AC)

我们证明了由加权齐次多项式的高阶雅可比矩阵的最大子式生成的理想也是加权齐次的。作为应用，我们给出了一个关于超曲面的高阶Nash展开局部代数上不存在负权导数的猜想的部分解答。 显示英文摘要

We prove that the ideal generated by the maximal minors of the higher-order Jacobian matrix of a weighted homogeneous polynomial is also weighted homogeneous. As an application, we give a partial answer to a conjecture concerning the non-existence of negative weight derivations on the higher Nash blowup local algebra of a hypersurface.

[8] arXiv:2412.06928 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 圆锥曲线和直线曲线束 显示英文标题

标题： Pencils of Conic-Line Curves

Hasan Suluyer

评论： 13页，1图

主题： 代数几何 (math.AG) ; 组合数学 (math.CO)

在本文中，我们研究了特殊线束中圆锥曲线的数目$m$的限制。 我们得到的最一般的结果是$m$上界与这些线束中同时直线的数目$p$之间的关系。 我们构造了一个单参数的线束族，使得该族中的每个线束恰好包含 4 个圆锥曲线。 我们还处理了圆锥曲线处于一般位置的线束。 显示英文摘要

In this paper, we study the restrictions on the number $m$ of conic-line curves in special pencils. The most general result we obtain is the relation between upper bounds on $m$ and the number $p$ of concurrent lines in these pencils. We construct a one-parameter family of pencils such that each pencil in the family contains exactly 4 conic-line curves. We also deal with pencils whose conic-line curves are in general position.

[9] arXiv:2412.15914 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 平坦挠率在复几何中 显示英文标题

标题： Flat torsors in complex geometry

Juan Sebastián Numpaque-Roa, Florent Schaffhauser

评论： 小的更正（在最终修订中发现的拼写错误）

主题： 代数几何 (math.AG)

这些笔记源于第二作者于2022年秋季在Casa Matemática Oaxaca举办的迷你课程。其目的是为研究生提供关于复解析群丛及其下的torsors的基本性质的阐述，包括平坦情况。 显示英文摘要

These notes grew out of a mini-course given by the second-named author at Casa Matem\'atica Oaxaca in the Fall of 2022. Their purpose is to provide an exposition, directed at graduate students, of the basic properties of complex analytic group bundles and torsors under them, including the flat case.

[10] arXiv:2503.17713 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 从光滑对数卡拉比-丘对上的射影丛得到的高亏格Gromov-Witten不变量 显示英文标题

标题： Higher genus Gromov-Witten invariants from projective bundles on smooth log Calabi-Yau pairs

Benjamin Zhou

评论： 36页，第2版，包含扩展的引言。欢迎提出意见

主题： 代数几何 (math.AG) ; 数学物理 (math-ph) ; 辛几何 (math.SG)

设$(X,E)$是一个光滑的对数卡拉比-丘对，由一个光滑的法诺曲面$X$和一个光滑的反卡雷布迪维索尔$E$组成。 我们通过使用稳定对数映射的退化公式 [KLR]，从典范丛$Z := \mathbb{P}(K_X \oplus \mathcal{O}_X)$的射影化中获得某些高亏格局部格罗莫夫-温特不变量。 我们利用$q$-细化的热带曲线计数与带有$\lambda_g$插入项的对数格罗莫夫-温特理论之间的关系来评估退化中的一个不变量 [Bou]。 作为推论，我们使用翻转证明了$Z$的高亏格不变量的爆破公式。 此外，假设 $X$ 是奇异的，我们通过 [GRZZ] 中的一个论证，证明了外 Aganagic-Vafa 磁盘 $L \subset K_X$的开不变量与 $Z$的闭不变量之间的全亏格对应关系，该关系推广了 [Cha] 中的单亏格开闭等式到所有亏格。 显示英文摘要

Let $(X,E)$ be a smooth log Calabi-Yau pair consisting of a smooth Fano surface $X$ and a smooth anticanonical divisor $E$. We obtain certain higher genus local Gromov-Witten invariants from the projectivization of the canonical bundle $Z := \mathbb{P}(K_X \oplus \mathcal{O}_X)$, using the degeneration formula for stable log maps [KLR]. We evaluate an invariant in the degeneration using the relationship between $q$-refined tropical curve counting and logarithmic Gromov-Witten theory with $\lambda_g$-insertion [Bou]. As a corollary, we use flops to prove a blow up formula for higher genus invariants of $Z$. Additionally assuming $X$ is toric, we prove an all-genus correspondence between open invariants of an outer Aganagic-Vafa brane $L \subset K_X$ and closed invariants of $Z$ that generalizes a genus-0 open-closed equality of [Cha] to all-genus, by using an argument in [GRZZ].

[11] arXiv:2507.02823 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 接触几何和高阶距离轨迹 显示英文标题

标题： Osculating Geometry and Higher-Order Distance Loci

Sandra Di Rocco, Kemal Rose, Luca Sodomaco

评论： 更新的定理1.1证明，添加了引理5.10。40页，7图。欢迎提出意见！

主题： 代数几何 (math.AG)

我们讨论在多项式约束下优化给定点的距离函数的问题。 一个关键的代数不变量决定了其复杂性，即欧几里得距离次数，这涉及一阶切触。 我们关注具有至少一个临界点的点的几何位置，该临界点与高阶密切空间正交。 我们研究态射的高阶距离次数，作为涉及喷泉丛和高阶极类的交理论不变量。 我们的方法建立在Piene开发的基础定义和结果之上，特别是关于高阶极位置的相关内容。 我们给出了通用映射、Veronese嵌入和环面嵌入的闭合公式。 我们特别强调Bombieri-Weyl度量，揭示所选度量深刻影响高阶投影映射的次数和有理性。 此外，我们引入了一个热带框架，将这些次数表示为与Bergman扇形的稳定交集，从而在环面设置中实现有效的组合计算。 显示英文摘要

We discuss the problem of optimizing the distance function from a given point, subject to polynomial constraints. A key algebraic invariant that governs its complexity is the Euclidean distance degree, which pertains to first-order tangency. We focus on the data locus of points possessing at least one critical point of the distance function that is normal to a higher-order osculating space. We study the higher-order distance degree of a morphism as an intersection-theoretic invariant involving jet bundles and higher-order polar classes. Our approach builds on foundational definitions and results developed by Piene, particularly regarding higher-order polar loci. We give closed formulas for generic maps, Veronese embeddings, and toric embeddings. We place particular emphasis on the Bombieri-Weyl metric, revealing that the chosen metric profoundly influences both the degree and birationality of the higher-order projection maps. Additionally, we introduce a tropical framework that represents these degrees as stable intersections with Bergman fans, facilitating effective combinatorial computation in toric settings.