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数学 > 概率

arXiv:2504.21648 (math)
[提交于 2025年4月30日 ]

标题: 带Lévy彩色噪声的SPDE解的矩估计

标题: Moment estimates for solutions of SPDEs with Lévy colored noise

Authors:Raluca M. Balan, Juan J. Jiménez
摘要: 本文中,我们继续第一作者在Balan(2015)中发起的研究,涉及在$\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}^d$上具有Lévy彩色噪声的随机偏微分方程(SPDEs)的研究。 这种噪声通过与适当的空间核函数$\kappa$的卷积构造自一个Lévy白噪声(该白噪声本身由带强度$dtdx \nu(dz)$的Poisson随机测度构建)。 我们假设Lévy测度$\nu$具有有限方差。 因此,关于此噪声的随机积分类似于Dalang(1999)中考虑的空间均匀高斯情形下的积分进行构造。 利用Rosenthal不等式,我们给出了关于Lévy彩色噪声的随机积分的$p$阶矩的上界,这使我们能够确定由这种噪声驱动的SPDE解具有更高阶矩的充分条件。 我们首先分析线性SPDE的情形,在任意维度$d$下考虑热方程和波动方程作为例子,并针对三种核函数$\kappa$(热核、Riesz核和Bessel核)进行研究。 然后,我们为具有Lipschitz系数的非线性SPDE提出了一般理论,并详细分析了热方程(在维度$d\geq 1$下)和波动方程(在维度$d\leq 3$下)的情况,针对相同的核$\kappa$。我们证明了这些方程的解各自具有有限的上Lyapounov指数,阶数为$p\geq 2$,并且在某些情况下表现出弱间歇性(按照 Foondun 和 Khoshnevisan, 2013 的定义)。对于具有Levy色噪声的抛物/双曲Anderson模型,我们提供了解的Poisson混沌展开以及二阶Lyapounov指数的显式形式。
摘要: In this article, we continue the investigations initiated by the first author in Balan (2015) related to the study of stochastic partial differential equations (SPDEs) with L\'evy colored noise on $\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}^d$. This noise is constructed from a L\'evy white noise (which is in turn built from a Poisson random measure with intensity $dtdx \nu(dz)$), using the convolution with a suitable spatial kernel $\kappa$. We assume that the L\'evy measure $\nu$ has finite variance. Therefore, the stochastic integral with respect to this noise is constructed similarly to the integral with respect to the spatially-homogeneous Gaussian case considered in Dalang (1999). Using Rosenthal's inequality, we provide an upper bound for the $p$-th moment of the stochastic integral with respect to the L\'evy colored noise, which allows us to identify sufficient conditions for the solution of an SPDE driven by this noise to have higher order moments. We first analyze this question for the linear SPDE, considering as examples the stochastic heat and wave equations in any dimension $d$, for three examples of kernels $\kappa$: the heat kernel, the Riesz kernel, and the Bessel kernel. Then, we present a general theory for a non-linear SPDE with Lipschitz coefficients, and perform a detailed analysis in the case of the heat equation (in dimension $d\geq 1$), and wave equation (in dimension $d\leq 3$), for the same kernels $\kappa$. We show that the solution of each of these equations has a finite upper Lyapounov exponent of order $p\geq 2$, and in some cases, is weakly intermittent (in the sense of Foondun and Khoshnevisan, 2013). In the case of the parabolic/hyperbolic Anderson model with L\'evy colored noise, we provide the Poisson chaos expansion of the solution and the explicit form of the second-order Lyapounov exponent.
评论: 52页
主题: 概率 (math.PR)
引用方式: arXiv:2504.21648 [math.PR]
  (或者 arXiv:2504.21648v1 [math.PR] 对于此版本)
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2504.21648
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来自: Raluca Balan [查看电子邮件]
[v1] 星期三, 2025 年 4 月 30 日 13:52:09 UTC (41 KB)
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