The Pythagoras number of fields of transcendence degree $1$ over $\mathbb{Q}$

Benoist, Olivier

数学 > 代数几何

arXiv:2506.21380 (math)

[提交于 2025年6月26日 (v1) ，最后修订 2025年7月5日 (此版本， v2)]

标题： $\mathbb{Q}$ 上超越度为 $1$ 的域的毕达哥拉斯数

标题： The Pythagoras number of fields of transcendence degree $1$ over $\mathbb{Q}$

Authors:Olivier Benoist

摘要：我们证明，在 $\mathbb{Q}$ 上超越度为 $1$ 的域中，任何平方和都是 $5$ 个平方和，这回答了 Pop 和 Pfister 的一个问题。我们由此从一个表示定理推导出这个结果，在$k(C)$中，对于系数在$k$中的秩为$\geq 5$的二次型，其中$C$是数域$k$上的一条曲线。

摘要： We show that any sum of squares in a field of transcendence degree $1$ over $\mathbb{Q}$ is a sum of $5$ squares, answering a question of Pop and Pfister. We deduce this result from a representation theorem, in $k(C)$, for quadratic forms of rank $\geq 5$ with coefficients in $k$, where $C$ is a curve over a number field $k$.

评论：	23页，小幅修改
主题：	代数几何 (math.AG) ; 数论 (math.NT)
MSC 类：	11E25, 11E12, 14G25, 14G12
引用方式：	arXiv:2506.21380 [math.AG]
	(或者 arXiv:2506.21380v2 [math.AG] 对于此版本)
	https://doi.org/10.48550/arXiv.2506.21380

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来自： Olivier Benoist [查看电子邮件]
[v1] 星期四， 2025 年 6 月 26 日 15:30:46 UTC (38 KB)
[v2] 星期六， 2025 年 7 月 5 日 10:42:25 UTC (38 KB)

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