标题： Wahl奇点在退化del Pezzo曲面中的出现 显示英文标题

标题： Wahl singularities in degenerations of del Pezzo surfaces

摘要： 对于任意固定的$1 \leq \ell \leq 9$，我们刻画了出现在度数为$\ell$的 del Pezzo 曲面退化中的所有 Wahl 奇点。 这扩展了 Manetti 和 Hacking-Prokhorov 在度数为$9$的工作，在该工作中使用 Markov 方程对 Wahl 奇点进行了分类。 为了实现这一点，我们引入了带标记的 del Pezzo Wahl 链。 它们定义了带标记的 del Pezzo 曲面$W_{*m}$，这些曲面控制了所有此类退化。 我们还证明了每个带标记的 del Pezzo 曲面都会退化为一个唯一定义的具有仅 T-奇点的 toric del Pezzo 曲面。 此外，我们建立了$W_{*m}$表面与某些伪加权射影平面之间的双射对应关系。 作为应用，我们展示了每个 Wahl 奇点都出现在度数为$\leq 4$的 del Pezzo 曲面上，但有无穷多个 Wahl 奇点不会出现在度数为$\geq 5$的情况下。 我们还利用 Hacking 的例外层系提供了 Polishchuk 和 Rains 关于 del Pezzo 曲面上例外向量丛的近期结果的几何证明。 显示英文摘要

摘要： For any fixed $1 \leq \ell \leq 9$, we characterize all Wahl singularities that appear in degenerations of del Pezzo surfaces of degree $\ell$. This extends the work of Manetti and Hacking-Prokhorov in degree $9$, where Wahl singularities are classified using the Markov equation. To achieve this, we introduce del Pezzo Wahl chains with markings. They define marked del Pezzo surfaces $W_{*m}$ that govern all such degenerations. We also prove that every marked del Pezzo surface degenerates into a canonically defined toric del Pezzo surface with only T-singularities. In addition, we establish a one-to-one correspondence between the $W_{*m}$ surfaces and certain fake weighted projective planes. As applications, we show that every Wahl singularity occurs for del Pezzo surfaces of degree $\leq 4$, but that there are infinitely many Wahl singularities that do not arise for degrees $\geq 5$. We also use Hacking's exceptional collections to provide geometric proofs of recent results by Polishchuk and Rains on exceptional vector bundles on del Pezzo surfaces.