标题： 卷积模型中部分已知噪声分布的自适应性 显示英文标题

标题： Adaptivity in convolution models with partially known noise distribution

摘要： 我们考虑一个半参数卷积模型。 我们观察随机变量，其分布由某个未知密度 $f$ 和部分已知的噪声密度 $g$ 的卷积给出。 在此工作中，假设 $g$ 具有指数平滑性，稳定律具有未知的自相似指数 $s$。 为了确保模型的可识别性，我们将注意力限制在多项式光滑的索博列夫型密度 $f$上，其光滑性参数为 $\beta$。 在此背景下，我们首先提供了一种对 $s$ 进行一致估计的方法。 然后将该估计量引入三种不同的程序：估计未知密度函数 $f$，估计泛函 $\int f^2$，以及检验假设 $H_0:f=f_0$ 的拟合优度，其中备择假设 $H_1$ 是相对于 $\mathbb {L}_2$-范数表示的（即具有形式 \($\psi_n^{-2}\|f-f_0\|_2^2\ge \mathcal{C}$\））。 这些程序对于$s$和$\beta$都是自适应的，并且达到了已知对$s$和$\beta$的已知值而言是最优的速率。 作为副产品，当噪声密度已知且具有指数平滑性时，我们的检验程序对检验Sobolev型密度是最优自适应的。 $s$的估计程序通过合成数据进行了说明。 显示英文摘要

摘要： We consider a semiparametric convolution model. We observe random variables having a distribution given by the convolution of some unknown density $f$ and some partially known noise density $g$. In this work, $g$ is assumed exponentially smooth with stable law having unknown self-similarity index $s$. In order to ensure identifiability of the model, we restrict our attention to polynomially smooth, Sobolev-type densities $f$, with smoothness parameter $\beta$. In this context, we first provide a consistent estimation procedure for $s$. This estimator is then plugged-into three different procedures: estimation of the unknown density $f$, of the functional $\int f^2$ and goodness-of-fit test of the hypothesis $H_0:f=f_0$, where the alternative $H_1$ is expressed with respect to $\mathbb {L}_2$-norm (i.e. has the form $\psi_n^{-2}\|f-f_0\|_2^2\ge \mathcal{C}$). These procedures are adaptive with respect to both $s$ and $\beta$ and attain the rates which are known optimal for known values of $s$ and $\beta$. As a by-product, when the noise density is known and exponentially smooth our testing procedure is optimal adaptive for testing Sobolev-type densities. The estimating procedure of $s$ is illustrated on synthetic data.