标题： 关于交换环的共极大理想的图 显示英文标题

标题： On graphs related to co-maximal ideals of a commutative ring

摘要： 本文研究了余极大图$\Om(R)$，$\Om(R)$的诱导子图$\G(R)$，其顶点集为$R\setminus (U(R)\cup J(R))$和$\G(R)$的一个收缩$\G_r(R)$，其中$R$是一个交换环。 我们证明了 $\G(R)$ 的核是由三角形和矩形组成的集合，而 $\G(R)$ 中的一个顶点要么是端点，要么是核中的顶点。 对于一个非局部环 $R$，我们证明了 $\G(R)$ 的色数和团数与 $R$ 的极大理想数量相同。 在顶点集 $\{Rx|\,x\in R\setminus (U(R)\cup J(R))\}$ 上引入了一个图 $\G_r(R)$，研究了图 $\G_r(R)$的性质。 显示英文摘要

摘要： This paper studies the co-maximal graph $\Om(R)$, the induced subgraph $\G(R)$ of $\Om(R)$ whose vertex set is $R\setminus (U(R)\cup J(R))$ and a retract $\G_r(R)$ of $\G(R)$, where $R$ is a commutative ring. We show that the core of $\G(R)$ is a union of triangles and rectangles, while a vertex in $\G(R)$ is either an end vertex or a vertex in the core. For a non-local ring $R$, we prove that both the chromatic number and clique number of $\G(R)$ are identical with the number of maximal ideals of $R$. A graph $\G_r(R)$ is also introduced on the vertex set $\{Rx|\,x\in R\setminus (U(R)\cup J(R))\}$, and graph properties of $\G_r(R)$ are studied.